Колоквијум из предмета Линеарна алгебра За смерове Л, М, Н, Р, В.

Нека је \(f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R\) произвољна бијекција на скупу реалних бројева, и нека је \(\star\) операција на скупу \(\mathbb R\) задата са \(a \star b = f^{-1}(f(a)+f(b)).\) Испитати да ли је \((\mathbb R, \star)\) група.

Нека је \[ A = \begin{bmatrix} \lambda &0 &-2 &-1\\ \lambda-1 &0 &-1 &0\\ -1 &1 &1 &\lambda\\ 2\lambda &1 &0 &-1 \end{bmatrix}\]

1. Одредити ранг матрице \(A\) у зависности од параметра \(\lambda\)
2. За \(\lambda = 0\) наћи инвертибилне матрице \(P\) и \(Q\) такве да је \(A^0 = PAQ,\) где је \(A^0\) канонска матрица матрице \(A\)

Нека је \(U = \mathcal L((1,1,1,1), (-1,2,0,5), (4,1,3,-2)),\) и нека је \(W\) скуп решења система линеарних једначина \[ \begin{alignedat}{4}&x+3&y+&z+5&t=0\\ &x+2&y \phantom{+}&\phantom{z} +3&t=0\\ 2&x+ 5&y+&z+8&t=0\\ 3&x+5&y-&z+7&t=0\end{alignedat}\]Одредити базу и димензију за \(U,\) \(W,\) \(U+W\) и \(U \cap W.\)