Писмени испит из предмета Анализа 3Б За смерове М, Н.

Нека је \[X = \left\{(x_n)_{n \in \mathbb N} \mid x_n \in \mathbb C, \sum_{n =1}^{+\infty }\sup_{k \geq n} \lvert x_k \rvert^2 \lt +\infty\right\}.\]

1. Доказати да је \(X\) Банахов простор када се на њему уведе норма дефинисана са \[{\lVert x \rVert_X = \sqrt{\sum_{n=1}^{+\infty} \sup_{k \geq n} \lvert x_k \rvert^2}}.\]
2. Доказати да је \(X \subset l^2.\)
3. Нека је \(I\colon X \rightarrow l^2\) дефинисана са \(I\left(x\right) = x.\) Доказати да је \(I\) ограничен линеаран оператор, одредити \(\lVert I \rVert\) и испитати да ли је он сурјективан.

Нека је \[H = \left\{(x_n)_{n \in \mathbb N} \mid x_n \in \mathbb C, \textstyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\lvert x_n \rvert ^2}{8^n} \lt + \infty\right\}\] Хилбертов простор са скаларним производом дефинисаним са \(\langle x, y \rangle := \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x_n \overline {y_n}}{8^n}.\) Ако је \[M = \left\{x \in H \mid \textstyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x_n}{(4i)^n} = 0\right\},\] одредити \(M^\perp\) и \(M^{\perp \perp}.\) Доказати да низ \(a\) са општим чланом \(a_n = \frac{x^n}{n!},\) за свако \(n \in \mathbb N,\) припада \(H,\) па затим израчунати \(d\left(a,M\right).\)

Нека је \(k \in \mathbb N\) и \(a\) произвољан конвергентан низ. Израчунати \[\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n+a_{n+1}+a_{n+2} + \cdots + a_{kn-1}+a_{kn}}{n}.\]

Нека је \(T\colon L^2(0,1) \rightarrow L^2(0,1)\) дефинисан са \(Tf\left(x\right) = \int_{x^2}^{\sqrt x} \sin\left(it\right)f\left(t\right)\mathrm dt.\) Доказати да је \(T\) компактан оператор, одредити \(T^*\) и испитати његову нормалност.