Писмени испит из предмета Дистрибуције и парцијалне једначине А За смерове М, Н.

Нека је \(E = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 \gt 1\}.\) Решити проблем (одредити решење које припада \(C(\overline E; \mathbb R) \cap C^2(E; \mathbb R)\) и доказати да је јединствено):\[ \begin{aligned}1^\circ \qquad &\Delta u = 0, &(x,y) \in E; \\ 2^\circ \qquad &u(x,y) = 3y - 4y^3, &(x,y) \in \partial E; \\ 3^\circ \qquad &u \text{ је ограничена на } \overline E.\end{aligned}\]Одредити и бар две различите функције које припадају \(C(\overline E; \mathbb R) \cap C^2(E ; \mathbb R)\) и задовољавају услове \(1^\circ\) и \(2^\circ.\)

Нека је \(u: \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R\) хармонијска функција и нека је \(1 \leq p \lt +\infty.\) Доказати да \(u_x\) (парцијални извод функцие \(u\) по променљивој \(x\)) припада \(L^p(\mathbb R^2)\) ако и само ако постоје \(a,b \in \mathbb R\) такви да је \(u(x,y) = ay+b,\) за свако \((x,y) \in \mathbb R^2.\)

Нека је \(D = \{(x,t) \in \mathbb R^2 : 0 \lt x \lt \pi, t \gt 0\}.\) Решити проблем (одредити решење које припада \(C^2(\overline D, \mathbb R)\) и доказати да је јединствено): \[ \begin{aligned} &u_t = u_{xx}+x-\pi, &\text{ za } (x,t) \in \overline D,\\ &u(x,0) = \cos{\frac{x}{2}}, &\text{ za } 0 \leq x \leq \pi,\\ &u_x(0,t) = t, &\text{ za } t \geq 0,\\ &u(\pi, t) = 0, &\text{ za } t \geq 0. \end{aligned}\]

Дата је једначина \[u_{xy} + u_x + u_y + u = 0,\] где је \(u\colon \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R\) непозната функција.

1. Уводећи нову непознату функцију \(v: \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R\) дефинисану са \(v(x,y) = u(x,y) e^{x+y}\) извршити трансформацију дате једначине.
2. Одредити опште решење дате једначине као и Кошијево решење ако је \(u(x,-x) = 0\) и \(u_x(x,-x) = 2x.\)