МАТФ РОКОВИ
17.02.2021.

Колоквијум из предмета Диференцијална геометрија За смер М.

Време израде: 150 минута.

Све што је виђено на предавањима можете користити без доказа. \(\mathbf{S}^1\) је јединични центрирани круг, а \(\mathbb{R}\mathbf{P}^1\) је реална пројективна права. Време за рад је \(150\) минута.

1

За које вредности \(r \in \mathbb{R}\) је скуп \(M = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : x^2+y^2 = 1, x^2+z^2 = r^2\} \subset \mathbb{R}^3\) једнодимензиона многострукост?

2

Нека је \(V \in T_pM\) произвољан тангентни вектор многострукости \(M \ni p.\) Показати да постоји векторско поље \(X \in \mathfrak{X}\left(M\right)\) такво да важи \(X_p = V.\)

3

Да ли постоји субмерзија \(f\colon \mathbf{S}^1 \to \mathbb{R}?\) Да ли постоји субмерзија \(f\colon \mathbf{S}^1\times \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2?\)

4

Показати да је пројективна права \(\mathbb{R}\mathbf{P}^1\) дифеоморфна кругу \(\mathbf{S}^1.\)

5

Нека је \((\mathcal{V},g)\) недефинитан квадратни простор, а \(b\) симерична билинеарна форма на \(\mathcal{V}.\) Доказати да је \(b = Cg\) а неко \(C \in \mathbb{R}\) ако и само ако је \(b\left(N,N\right)=0\) за сваки изотропан \(N \in \mathcal{V}.\)