Колоквијум из предмета Анализа 1 За смерове Л, М, Н, Р, В.

Посматрајмо скуп \(\mathbb{R}^2\) на коме дефинишемо операцију као \[ (u, v) \oplus (x,y) = (u+x, v+y), \forall (u,v), (x,y) \in \mathbb{R}^2,\] и релацију као \[ (u,v) \preccurlyeq (x,y) \Longleftrightarrow ((u \lt y) \lor (v=y \land u \leq x)), \forall (u,v), (x,y) \in \mathbb{R}^2 .\]

1. Доказати да је структура \((\mathbb{R^2}, \oplus, \preccurlyeq)\) тотално уређена Абелова група.
2. Доказати да у \((\mathbb{R^2}, \oplus, \preccurlyeq)\) не важи Архимедова аксиома.
3. Дат је скут \(T =\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2+y^2 = 1\}.\) Наћи \(\sup T,\) ако постоји.
4. Доказати да структура \((\mathbb{R}^2, \oplus, \preccurlyeq)\) није изоморфна структури \((\mathbb{N}, +, \leq)\) (са стандардним сабирањем и релацијом поретка).

1. Наћи \(\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{2n}{[ n \sqrt{2}]}\) и \(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(n+2)n^n}{(n+1)^{n+1}}.\) Уверити се да на овим примерима важи тврђење из дела под (в).
2. Нека је \((a_n)_{n\in\mathbb{N}}\) ни за које важи \((\exists c \gt 0) (\forall m, n \in \mathbb{N}) |a_m-a_n| \gt c.\) Доказати да низ \((a_n)_{n \in \mathbb{N}}\) није конвергентан (у \(\mathbb{R}\)).
3. Нека је \(\alpha > 0\) ирационалан и нека су \((p_n)_{n\in \mathbb{N}}, (q_n)_{n\in \mathbb{N}}\) низови природних бројева такви да важи \(\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{p_n}{q_n} = \alpha.\) Доказати да је \(\lim_{n\rightarrow \infty} q_n = \infty.\)

Дата је сурјективна и непрекидна функција \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) за коју важи да је за свако \(y \in \mathbb{R}\) скуп \(f^{-1}(\{y\})\) највише двочлан.

1. Показати да за све \(a, b \in \mathbb{R},\) такве да \(a \lt b, \) функција \(f|_{[a,b]}\) достиже минимум и максимум баш у тачкама \(a\) и \(b.\)
2. Показати да је функција \(f\) строго монотона.

Нека је функција \(f\) дата са \(f(x) = |x-1| + \text{sgn}(x^2-x-2).\)

1. Испитати диференцијабилност функције \(f.\)
2. Испитати равномерну непрекидност функције \(g,\) дате са \(g(x) = xf(x),\) на интервалима \([1,3], [0,1]\) и \((-\infty, -3).\)