Писмени испит из предмета Алгебра 1 За смерове Л, Р.

Нека је на скупу комплексних бројева \(\mathbb{C}\) дефинисана операција \(*\) са \[(a+ib)*(c+id) = ac + i(b + ad)\]Испитати да ли је \(\mathbb{C}, *)\) група? Уколико је \[H = \{a+ib \in \mathbb{C} \mid a> 0\}\] доказати да је \((H, *)\) група. Да ли је \(H_1=\{1+ib \mid b \in \mathbb{R}\}\) подгрупа групе \(H?\) Да ли је \({H_2 = \{a+i \mid a \in \mathbb{R}\}}\) подгрупа групе \(H?\) Уколико јесу подгрупе, да ли су и нормалне подгрупе?

Одредити које од наредних група су међсобно изоморфне \[\mathbb{S}_3 \times \mathbb{Z}_{18} \qquad \mathbb{D}_6 \times \mathbb{Z}_9 \qquad \mathbb{Z}_{108} \qquad \mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_9 \times \mathbb{Z}_3 \qquad \mathbb{D}_3 \times \mathbb{D}_9\]

Нека је дата пермутација \(f = \lfloor 1, 6, 5, 2, 3, 7\rceil \lfloor 1, 2, 4\rceil \lfloor 3, 6, 5\rceil \) у \(\mathbb{S}_7.\) Одредити ред и знак пермутације \(f.\) Одредити пермутацију \(g\) реда \(2\) такву да је \(gfg = f^{-1}.\) Одредити најмање \(n\) такво да постоји мономорфизам из \(\mathbb{D}_{12}\) у \(\mathbb{S}_n.\)

Нека је \(p\) прост број. Доказати да је \[H = \left\{ \frac{m}{n} \mid m,n \in \mathbb{N}, (m,n) = 1, p \nmid m, p \nmid n \right\}\]подгрупа групе \((\mathbb{Q}^+, \cdot).\) Доказати да је \(f: \mathbb{Q}^+ \rightarrow \mathbb{Z}\) дефинисан са \[f \left( p^r \frac{m}{n} \right) = r, \quad m,n \in \mathbb{N}, p\nmid m, p\nmid n\] хомоморфизам. Одредити неку подгрупу \(K\) групе \(\mathbb{Q}^+\) такву да је \(\mathbb{Q}^+ / K \cong \mathbb{Z}.\)

Одредити елементарну и нормалну форму Абелове групе \(G\) задате генераторима \(a, b, c, d\) за које важе релације \[ \begin{aligned} 3a + 7b + c + 16d &= 0 \\ 15a + 19b + 15c + 30d &= 0 \\ 6a + 10b + 4c + 22d &= 0 \\ 12a + 20b + 8c + 43d &= 0 \end{aligned}\] Одредити број елемената реда \(2, 6\) и \(10\) у групи \(G.\)