Писмени испит из предмета Комплексне функције За смер Р.
1
Нека је \(\Omega\subset\mathbb C\) просто повезана област и нека је \(f\colon\Omega\to\mathbb C\) таква да су функције \(\mathrm{Re} f\) и \(\mathrm{Im} f\) хармонијске функције на \(\Omega.\) Доказати да постоје аналитичке функције \(g,h\colon\Omega\to\mathbb C\) такве да је \(f\left(z\right)=g\left(z\right)+\overline{h\left(z\right)}\) за свако \(z\in\Omega.\) Да ли су функције \(g\) и \(h\) јединствене?
2
- Одредити билинеарно пресликавање \(B\colon\overline{\mathbb C}\to \overline{\mathbb C}\) такво да је \(B\left(0\right)=1,\) \(B\left(1\right)=\infty\) и \(B\left(2\right)=-3.\)
- Нека је пресликавање \(A\) дефинисано са \(A\left(z\right)=e^{B\left(z\right)}.\) Пресликавањем \(A\) пресликати област \(\left\{z\in\mathbb C : \lvert z\rvert \lt 1\right\}.\)
- Нека је \(0\lt r\lt 1.\) Доказати да се пресликавањем \(B\) кружница \(\left\{z\in\mathbb C : \lvert z\rvert = 1\right\}\) пресликава у кружницу чији је центар \(c=\frac{1+r^2}{1-r^2}\) и полупречник \(R=\frac{2r}{1-r^2}.\)
3
- Функцију \(f\) дефинисану са \(f\left(z\right)=z^2\sin\frac{\pi z}{z+1}\) представити Лорановим редом у прстену \(\left\{z\in\mathbb C: 0\lt \lvert z+1\rvert\lt +\infty\right\}.\)
- Нека је \(a\gt 1\) и \(\gamma\left(t\right)=e^{it}\) \(t\in\left[0,2\pi\right].\) Израчунати \[\int_\gamma \frac{z}{\left(z^2+2az+1\right)^2}\,dz.\]
4
Нека је \(a\gt 1.\) Израчунати \[\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(a+\cos t\right)^2}\,dt.\]
5
Одредити максимум и минимум функције \(f\left(z\right)=\left\lvert z^2+z+1\right\rvert\) на скупу \(\left\{z\in\mathbb C : \lvert z\rvert \le 2,\, \mathrm{Im} z\ge 0\right\}.\) Одредити бар једну тачку у којој се постиже максимум и бар једну тачку у којој се постиже минимум.