Писмени испит из предмета Геометрија 1 За смерове Л, М, Н, Р, В.

Нека је дат троугао \(ABC\) који није једнакокрак, нека су \(A', B', C'\) подножја висина из темена \(A, B, C\) редом и нека је \(P\) пресечна тачка правих \(BC, B'C', Q\) пресечна тачка правих \(AC, A'C'\) и \(R\) пресечна тачка правих \(AB, A'B'.\) Доказати да су тачке \(P, Q, R\) колинеарне.

Нека се равни \(\alpha\colon 2x + y + z = 0\) и \(\beta\colon 4x - 3y +z = 0\) секу по правој \(p. \) Одредити једначину праве \(q\) која садржи координатни почетак, припада равни \(\gamma\colon x + y - 2z=0\) и нормална је на правој \(p. \)

Одредити формуле трансформације кој апредставља композицију осне симетрије равни у односу на осу \(p\colon x - 2y = 0\) и осне симетрије равни у односу на осу \(q\colon 2x+ y =0.\)

Одредити једначину конуса чији је врх тачка \(V(0,0,0)\) и додирује сферу \(S\colon\left(x-2\right)^2+y^2+z^2=2.\)

Одредити обим сферног троугла \(ABC\) на сфери полупречника \(1\) коме су углови \({\sphericalangle BAC = \frac{\pi}{2}}, \sphericalangle ABC = \frac{\pi}2, \sphericalangle ACB = \frac{\pi}6.\)