МАТФ РОКОВИ
24.06.2020.

Писмени испит из предмета Анализа 3Б За смер В.

1

12 поена

Нека је \((Y,\lVert \cdot\rVert_Y)\) Банахов простор и \(X=\left\{x\colon \mathbb N \rightarrow Y \mid (\exists M \gt 0)(\forall n \in \mathbb N) \sum_{k=1}^n\left\lVert x_k\right\rVert_Y\right\}.\)

  1. Доказати да је \((X,\lVert \cdot\rVert_X)\) Банахов простор, где је \(\lVert x\rVert_X = \sup_{n\ge 1}\frac{1}{n!} \sum_{k=1}^n \lVert x_k\rVert_Y\) за све \(x\in X\).
  2. Ако је \(l^\infty(Y) = \left\{ x\colon \mathbb N \in Y \mid \sup_{n\ge 1} \left\lVert x_n \right\rVert\lt +\infty\right\}\) и \(\left\lVert x\right\rVert_{l^\infty(Y)}=\sup_{n\ge 1} \left\lVert x_n\right\rVert_Y\) за \(x\in l^\infty(Y)\), испитати да ли је оператор \(A\colon X\rightarrow X\colon x\mapsto x\) линеаран и ограничен и у потврдном случају одредити \(\left\lVert A\right\rVert.\)

2

21 поена
  1. За \(f\in C[-1,1]\) израчунати \(\lim_{n\rightarrow+\infty}n\int_{-1}^1e^{-n\lvert x\rvert}f(x)dx.\)
  2. У зависности од \(\alpha\in\mathbb R\) испитати кад постоји лимес \(\lim_{y\rightarrow+\infty}y^\alpha\int^1_{-1}e^{y\lvert x\rvert}f(x) dx\) за све \(f\in C[-1,1]\) и у потврдном случају га израчунати.

3

13 поена

Нека је \(T\colon L^2(0,1)\rightarrow L^2(0,1)\) дефинисан са \((Tf)(x)=\int_{x^2}^1e^{it}f(t)dx\). Показати да је \(T\in \mathcal{B}(L^2(0,1))\), одредити \(T^*\) и \(\sigma_p(T)\) и показати ако \(x_n\rightarrow 0\) слабо кад \(n\rightarrow +\infty\) да тада \(Tx_n \rightarrow 0\) јако кад \(n\rightarrow+\infty\).

4

12 поена

Нека је \(\mathcal H = \left\{ x\colon\mathbb N \rightarrow \mathbb C \mid \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\lvert x_n\rvert^2}{2^n}\lt+\infty\right\}\) Хилбертов простор са скаларним производом \(\langle x,y\rangle = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x_n\overline{y_n}}{2^n}\) за све \(x,y\in\mathcal H\). Ако је \(M=\left\{x\in\mathcal H\mid \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x_n}{2^n}=0\right\}\) одредити \(M^\bot\) и \((M^\bot)^\bot\). Доказати и да низ \(a=(i^n)_{n=1}^\infty\) припада \(\mathcal H\) и израчунати \(\mathrm{dist}(a, M).\)