Писмени испит из предмета Алгебра 2 За смерове Л, Н.

Нека је \(R = \left\{ \begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0\\ c & 0 & a\end{pmatrix} : a,b,c \in \mathbb{Z}[i]\right\},\) где је \(\mathbb{Z}[i] = \{s + ti | s,t \in \mathbb{Z}\}\) прстен Гаусових целих.

1. Доказати да је \(R\) комутативни потпрстен прстена \(M_3(\mathbb{Z}[i]).\)
2. Доказати да је скуп \(I = \left\{ \begin{pmatrix} x & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ y & 0 & x \end{pmatrix} : x,y \in \mathbb{Z}[i]\right\}\) идеал прстена \(R.\)
3. Доказати да је \(\phi: R \rightarrow \mathbb{Z}[i], \begin{pmatrix} a & 0 & 0\\ 0 & b & 0\\ c & 0 & a\end{pmatrix} \mapsto b,\) епиморфизам прстена и одредити \(\ker \phi.\)
4. Испитати да ли је \(I\) прост, односно максималан идеал.

Нека је \(\alpha = \sqrt{2+\sqrt{5}}.\)

1. Одредити минимални полином елемента \(\alpha\) над пољем \(\mathbb{Q}.\)
2. Одредити коренско поље \(F\) полинома \(m_\alpha(X),\) као и степен раширења \([F:\mathbb{Q}].\)
3. Наћи полином најмањег степена \( g(X) \in \mathbb{Q}[X]\) такав да \(g(\alpha) = \frac{\alpha}{\alpha^2-1}.\)

Нека је \(f(X) = X^3 + tX^2 + X + 1 \in \mathbb{F}_3[X].\)

1. Одредити \(t \in \mathbb{F}_3\) такво да је \(K = \mathbb{F}_3[X]/\langle f(X) \rangle\) поље.
2. За ту вредност параметра \(t\) одредити једну базу векторског простора \(K\) над пољем \(\mathbb{F}_3,\) као и број елемената поља \(K.\)
3. Ако је \(\beta = X^2 + 2X + \langle f(X)\rangle, \) одредити инверз елемента \(\beta\) у пољу \(K, \) за претходно одређену вредност параметра \(t\).

Нека је \(H\) подгрупа групе \(G.\)

1. Доказати да је са \((h,k)\cdot g = hgk^{-1}\) дефинисано дејство групе \(H \times H\) на скупу \(G.\)
2. Ако је \(G = \Phi_{16}\) и \(H = \{1, 5, 9, 13\},\) одредити орбите и стабилизаторе свих елемената групе \(G\) при дејству групе \(H \times H\) дефинисаном под \(1).\)

Нека је \(G\) група реда \(1976 = 2^3 \cdot 13 \cdot 19.\)

1. Доказати да \(G\) има нормалну подгрупу реда 19.
2. Доказати да \(G\) има подгрупу \(L\) реда \(13 \cdot 19\) и да је \(L\) циклична.
3. Доказати да је \(L\) нормална подгрупа групе \(G.\)