МАТФ РОКОВИ
01.12.2019.

Колоквијум из предмета Анализа 3А За смерове Н, В.

1

Дат је низ скупова \(A_n=\left\{z\in\mathbb C\colon\lvert\Re z\rvert \le 1, -1+(-1)^n\lt \Im z \lt 3+2\cdot(-1)^n+\frac{1}{n} \right\}.\)

  1. Одредити \(\liminf_{n\rightarrow\infty} A_n\) и \(\limsup_{n\rightarrow\infty} A_n.\)
  2. Израчунати \(m_{\mathbb C}\left(\liminf_{n\rightarrow\infty} A_n\right),\) \(m_{\mathbb C}\left(\limsup_{n\rightarrow\infty}A_n\right),\) \(\liminf_{n\rightarrow\infty} m_{\mathbb C}\left(A_n\right)\) и \(\limsup_{n\rightarrow\infty} m_{\mathbb C}\left(A_n\right)\) и упоредити их, где је \(m_{\mathbb C}\) Лебегова мера на \(\mathbb C.\)

2

Дати су скупови \(X=\{-2,-1,0,1,2\}\) и \(Y=\{a,b,c,d,e\}\) и пресликавање \(\varphi\colon X\rightarrow Y\) дефинисано са \(\varphi(-2)=e\) \(\varphi(-1)=\varphi(1)=b,\) \(\varphi(0)=a\) и \(\varphi(2)=c.\)

  1. Наћи минималну \(\sigma\)-алгебру \(\mathfrak M\) генерисану са \(\left\{\varphi^{-1}\left(a\right), \varphi^{-1}\left(b\right), \varphi^{-1}\left(c\right), \varphi^{-1}\left(d\right), \varphi^{-1}\left(e\right)\right\}.\)
  2. Испитати \(\mathfrak M\)-мерљивост функција \(f_1, f_2, g\colon X\rightarrow\mathbb R\) дефинисаних са \(f_1\left(x\right)=\mathrm{sgn} x,\) \(f_2\left(x\right)=x \mod 4,\) \(g\left(x\right)=x^2\) и \(f=f_1+f_2.\)
  3. Доказати да постоји јединствена вероватносна мера \(\mu\) на \(\mathfrak M\) која није комплетна и узима једнаке вредности на једночланим скуповима у \(\mathfrak M.\)

3

Нека је на Лебеговој \(\sigma\)-алгебри над \(\mathbb R\) дефинисана мера \(\mu\left(A\right)=m\left(A\cap \left[-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3}\right]\right)+e\chi_{A}\left(\frac{\pi}{6}\right)+\sqrt{6}\chi_A\left(\frac{2}{9}\right)\) где је \(m\) Лебегова мера на \(\mathbb R.\)

  1. Одредити \(\mu\left(\mathbb R\right),\) \(\mu\left(\mathbb C\right)\) и \(\mu\left(C\right),\) где је \(C\) Канторов скуп.
  2. Доказати да је функција дефинисана са: \[f\left(x\right)=\begin{cases}e^{\pi}, & x=0 \\ \sin\frac{\pi}{x^2}, & x\in C\setminus\{0\} \\ \sin^2 x, &x\in\mathbb R\setminus C\end{cases}\] Лебег мерљива и \(\mu\)-интеграбилна и израчунати \(\int_{\mathbb R} f\,d\mu.\)

4

Израчунати \[\lim_{n\rightarrow\infty}\int_0^1\frac{n^{\frac{5}{2}}x^5e^{-nx^2}}{\ln \left(1+x\right)}\, dx.\]