Писмени испит из предмета Анализа 3А За смерове М, Н.

Нека је \((X,\mu)\) простор са мером, \(f,g\in L^p(X,\mu)\) \(1\lt p\lt\infty\) и \(F(t)=\int_X\left\lvert f\left(x\right)+tg\left(x\right)\right\rvert d\mu\left( x\right)\) за \(t\in\mathbb R.\) Показати да је \(F\) диференцијабилна на \(\mathbb R\) и да је \[F'\left(0\right)=\frac{p}{2}\int_X\left\lvert f\left(x\right)\right\rvert^{p-2}\left(\overline{f\left(x\right)}g\left(x\right)+f\left(x\right)\overline{f\left(x\right)}\right) d\mu\left(x\right).\]

Израчунати \[\lim_{n\rightarrow\infty }\int_0^{\infty}\frac{1}{1+\left(\frac{x}{2\pi}\right)^n+\frac{1}{4n}\sin\left(\frac{e^x}{x}\right)}\cdot\frac{1}{\cos x -2}\, dx.\]

Нека \(x\in[0,1)\) има децималну репрезентацију \(\sum_{n=1}^{\infty}a_n10^{-n}\) за неке \(a_n\in\mathbb N_0.\) Ако \(x\) има две такве репрезентације онда сматрамо да је у питању она репрезентација таква да је \(a_n=0\) за све осим коначно много \(n.\) Нека је \(k\in\mathbb R\setminus \{0,1\}\) и \(f\colon[0,1)\rightarrow\mathbb R\) пресликавање дато са \[f\left(x\right)=\begin{cases}k, & \text{ако је }a_n\ne0\text{ за све }n \\ 1, &\text{ако први ненула члан } a_n \text{има паран индекс} \\ 0, & \text{иначе}.\end{cases}\] Показати да је \(f\) Лебег мерљива функција и израчунати \(\int_{[0,1)}f\left(x\right) dm\left(x\right).\)

Нека је \((X,\mu)\) простор са мером и \(f, g\gt 0\) интеграбилне функције на \(X\) такве да је \(f\ln f, f\ln g \in L^{1}(X,\mu).\) Показати да тада важи \[\int_X f\ln f\,d\mu -\int_X f\,d\mu\left(\ln \int_X f\,d\mu \right)\ge \int_X f\ln g\,d\mu -\int_X f\,d\mu\left(\ln \int_X g\, d\mu \right)\] као и да једнакост важи ако и само ако је \(f=cg\) \([\mu]\) скоро свуда за неко \(c\in\mathbb R.\)