МАТФ РОКОВИ
06.06.2019.

Писмени испит из предмета Анализа 3А За смерове М, Н.

1

Нека је \(a\in(0,1)\) и \(n\in\mathbb N.\) Показати да је \[\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax}\frac{x^n}{1-e^{-x}}dx=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\frac{n!}{(a+k)^{n+1}}.\]

2

Нека је \((X,\mathfrak M, \mu)\) простор са \(\sigma\)-коначном мером и \(f\colon X\rightarrow\overline{\mathbb R}\) мерљива функција. Показати да за свако \(p\gt0\) важи \(\int_X\left\lvert f(x)\right\rvert^pd\mu(x)=\int_{[0,\infty)}\mu\left(\{x\in X\mid \lvert f(x)\rvert \gt t\}\right)\,dm(t)\) где је \(m\) Лебегова мера на \(\mathbb R.\)

3

Нека су \(f_n\colon[0,1]\rightarrow[0,\infty)\) Лебег интеграбилне функције такве да је \(f_{n+1}(x)=\sqrt{\int_{[0,x]} f_n\left(t\right)\, dt}\) за \(n=1,2,\dots\) и \(x\in[0,1].\) Наћи \(\lim_{n\rightarrow\infty} f_n\) ако је \(f_1(x)\ge f_2\left(x\right)\) и \(f_1\left(x\right)\ge 0\) за све \(x\in[0,1].\)

4

Нека је \(p\gt 0\) и \(f:\left[0,\frac{2}{\pi}\right]\rightarrow\mathbb R\) дата са \[f\left(x\right)=\begin{cases}x^p\sin\frac{1}{x}, & x\in\left(0,\frac{2}{\pi}\right]\\ 0, & x=0\end{cases}.\] Показати да \(f\not\in\mathrm{BV}\left(\left(0,\frac{2}{\pi}\right]\right)\) за \(0\lt p\le 1,\) док \(f\in\mathrm{BV}\left(\left(0,\frac{2}{\pi}\right]\right)\) за \(p\gt 1.\)