Писмени испит из предмета Анализа 3А За смерове М, Н.

Нека је \((\mathbb R, \mathfrak M, \mu)\) простор са мером, \(\mathfrak M\) Борелова сигма алгебра на \(\mathbb R,\) \(f\colon\mathbb R\rightarrow \mathbb C\) функција таква да \(f,xf\in L^1(\mathbb R, \mu)\) и \(g(x):=\int_{\mathbb R} f(t) e^{-itx}\, d\mu(t)\) за \(x\in\mathbb R.\) Одредити \(g'(x)\) за оне \(x\in\mathbb R\) када је функција \(g\) диференцијабилна.

Нека је \((X,\mu)\) простор са мером, \(f\in L^p(X)\) \(g\in L^q(X)\) за \(1\lt p\lt \infty\) и \(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1,\) при чему је \(\int_X f\, d\mu=0.\) Показати да важи

1. \[\left\lvert\int_X fg\, d\mu\right\rvert\le\left(\int_X\left\lvert f\right\rvert^p d\mu\right)^{1/p}\left(\int_X\left\lvert g - \int_X g\, d\mu\right\rvert^q d\mu\right)^{1/q},\] ако је \(\mu\) вероватносна мера;
2. \[\left\lvert\int_X fg\, d\mu\right\rvert\le\left(\int_X\left\lvert f\right\rvert^p d\mu\right)^{1/p}\left(\int_X\left\lvert g - \frac{1}{\mu\left(X\right)}\int_X g\, d\mu\right\rvert^q d\mu\right)^{1/q},\] ако је \(\mu\) коначна мера.

Израчунати \[\lim_{n\rightarrow \infty}\int_{0}^{\infty}\frac{\arcctg\left(\frac{n^2+1}{n}x\right)-\arcctg\left(\frac{n^2-2n+1}{n}x\right)}{x^{5/4}}\,dx.\]

Доказати да је функција \(g\circ f\) апсолутно непрекидна за сваку апсолутно непрекидну функцију \(f\colon[a,b]\rightarrow [a,b]\) ако и само ако \(g\) задовољава Липшицов услов на \([a,b].\)