МАТФ РОКОВИ
16.01.2019.

Колоквијум из предмета Анализа 3А За смерове М, Н.

1

Нека је \((X,\mathfrak M,\mu)\) простор са коначном мером и \(f,g\colon X\rightarrow [0,+\infty)\) мерљиве функције такве да је \(f(x) g(x) \ge 1\) за све \(x\in X.\) За које вредности \(1\le p \le q \le \infty\) важи неједнакост \[\left(\frac{1}{\mu\left(x\right)}\int_x f^p\,d\mu\right)^{1/p}\left(\frac{1}{\mu\left(x\right)}\int_x g^q\,d\mu\right)^{1/q}\ge 1,\] без обзира који је простор са мером и које су функције \(f\) и \(g.\)

2

Нека су \(V_n,\) \(n=1,2,\dots\) отворени подскупови од \([0,1]\) такви да је \(V_1\supset V_2 \supset\cdots\) и \(m(V_n)\le 2^{-n},\) где је \(m\) Лебегова мера на \(\mathbb R.\) Ако је \(f(x)=\sum_{n=1}^\infty m\left(V_n\cap[0,x]\right)\) за \(x\in[0,1],\) показати да је

  1. \(f\in\mathrm{AC}[0,1];\)
  2. \(f\) је Липшицова функција на \([0,1]\) ако и само ако постоји \(N\in\mathbb N\) такво да је \(V_n=\emptyset\) за све \(n\ge N.\)

3

Нека је \((X,\mu)\) простор са мером, \(p\in[1,\infty]\) фиксирано, \(f_n\in L^p\left(X\right)\) за \(n=1,2,\dots\) и \(\left\{g_n\right\}_{n=1}^{\infty}\) ограничен низ из \(L^{\infty}(X).\) Ако \(f_n\rightarrow f\) у простору \(L^p\left(X\right)\) и \(g_n\rightarrow g\) \(\mu\)-скоро свуда кад \(n\rightarrow\infty\) показати да \(f_ng_n\rightarrow fg\) у \(L^p\left(X\right)\) кад \(n\rightarrow\infty.\)