МАТФ РОКОВИ
15.12.2018.

Колоквијум из предмета Анализа 3А За смерове М, Н.

1

Нека је \((X,\mathfrak{M},\mu)\) простор са мером и \(f\in\mathcal{L}^1(X)\) скоро свуда строго позитивна функција на \(X.\) Ако је \(A_n\in\mathfrak{M}\) за \(n\in\mathbb N,\) испитати тачност исказа \(\lim_{n\rightarrow \infty} \int_{A_n} f\,d\mu=0\) ако и само ако је \(\lim_{n\rightarrow \infty}\mu\left(A_n\right)=0\) у случају када је

  1. \(\mu(X)\lt\infty,\)
  2. \(\mu(X)=\infty,\)
  3. \(\mu\) \(\sigma\)-коначна мера.

2

Нека је \(f_n(x)=\left(\frac{n+x}{n+2x}\right)^n,\) \(g_n(x)=f_n(x)e^{x/2}\) и \(h_n(x)=f_n(x)e^{-x/2}\) за \(x\ge 0\) и \(n\in\mathbb N.\) Испитати да ли је \[\lim_{n\rightarrow\infty}\int_0^\infty g_n(x)=\int_0^\infty \lim_{n\rightarrow\infty} g_n(x)\] и \[\lim_{n\rightarrow\infty}\int_0^\infty h_n(x)=\int_0^\infty \lim_{n\rightarrow\infty} h_n(x).\]

3

Нека су \(a,b\gt 0.\) Показати да важи једнакост \[\int_0^1\frac{x^{a-1}}{1+x^b} dx=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{a+bn}.\]