МАТФ РОКОВИ
16.01.2021.

Колоквијум из предмета Диференцијална геометрија За смер М.

Време израде: 150 минута.

Све што је виђено на предавањма можете користити без доказа. \(\mathbf{B}^n\) је јединична центрирана кугла, а \(\mathbb{R}\mathbf{P}^1\) је реална пројективна права. Торзија је онај тензор који се поништава ако је повезаност симетрична. Време за рад је 150 минута.

1

Испитати за које вредности \(r \in \mathbb{R}\) је површ \(\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : x^2 + y^2 - z^2 = r\} \subset \mathbb{R}^3\) са релативном топологијом глатка многострукост (ако је могуће, конструисати гладак атлас).

2

Доказати да је пресликавање \(f: \mathbb{R}\mathbf{P}^1 \rightarrow \mathbb{R}\mathbf{P}^1\) дато са \((t:1) \mapsto (e^{t^2}:1)\) за \(t \in \mathbb{R}\) и \((1:0) \mapsto (1:0)\) глатко.

3

Доказати да за свако \(p \in \mathbf{B}^n = B_1(0) \subset \mathbb{R}^n\) постоји дифеоморфизам \(f: \mathbf{B}^n \rightarrow \mathbf{B}^n\) такав да је \(f(0) = p.\)

4

Одредити векторско поље \(V \in \mathfrak{X}(M)\) на многострукости \(M = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x> 0, y> 0\} \subset \mathbb{R}^2\) ако је \[ \left[ \frac{\partial}{\partial y} , V \right] = 2 \frac{x+y}{y^2} \frac{\partial}{\partial x} \quad \text{и} \quad \left[y \frac{\partial}{\partial x}, V\right] = 0.\]

5

Нека су \( \nabla^1 \) и \(\nabla^2\) повезаности на псеудо-Римановој многострукости \(M,\) а \(D: \mathfrak{X}(M) \times \mathfrak{X}(M) \rightarrow \mathfrak{X}(M)\) дато са \(D(X,Y) = \nabla^1_X Y - \nabla^2_X Y.\) Показати да је \(D \in \mathfrak{T}^1_2(M),\) као и да \(\nabla^1\) и \(\nabla^2\) имају исту торзију ако и само ако је \(D(X,Y) = D(Y,X).\) Ако је \(\nabla^1\) Леви-Чивита, показати да је \(\nabla^2\) метричка ако и само ако је \(D^\flat (X, Y, Z) = -D^\flat(Z, Y, X).\)