МАТФ РОКОВИ
16.01.2021.

Писмени испит из предмета Алгебра 1 За смерове Л, Р.

Време израде: 180 минута.

1

Нека је на скупу \(G = \mathbb{Q}\setminus \{0\}\) задата операција \(*\) са \[ p*q = \begin{cases} p\cdot q &\text{ када је } p \gt 0 \\ \frac{p}{q} &\text{ када је } p\lt 0 \end{cases} \]Доказати да је \((G, *)\) група. Докзати да је \(\mathbb{Q}^+\) подгрупа групе \(G.\) Испитати да ли је ова подгрупа нормална? Колико има елемената реда \(2\) у групи \(G?\) Да ли је ова група изоморфна са \((\mathbb{Q}\setminus \{0\}, \cdot)?\)

2

Испитати које од наредних група су међсобно изоморфне \[ \mathbb{D}_3 \times \mathbb{Z}_2, \quad \mathbb{D}_6, \quad \mathbb{A}_4, \quad \mathbb{Z}_{12}, \quad \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_6\]

3

Нека су дате две пермутације \(f = \lfloor 1, 2, 3 \ldots ,n-1, n\rceil\) и \(g = \Pi_{i=1}^{\lfloor{\frac{n}{2}}\rfloor} \lfloor i, n-i\rceil\) у \(\mathbb{S}_n.\) Одредити цикличну декомпозицију ред и знак пермутације \(gfg.\) Уколико је \(p\) прост и \(m\) природан број одредити (у зависности од \(p\) и \(m\)) најмање \(n\) такво да се \(\mathbb{D}_{p^m}\) утапа у \(\mathbb{S}_n.\) Одредити инјективан хомоморфизам \(i: \mathbb{D}_6 \rightarrow \mathbb{S}_5.\)

4

Нека је \(U = \{z \in \mathbb{C} \mid \lvert z\rvert=1\}.\) Доказати да је за \(n \in \mathbb{N}^+\) пресликавање \(f_n:(\mathbb{C}^*, \cdot) \rightarrow U \times U\) дефинисано са \[f_n(r e^{i\varphi}) = (e^{i(\frac{\pi}{2}\log_2{(r)}-\varphi)}, e^{in\varphi}), \qquad r>0\] хомоморфизам. Одредити \(\ker f_n.\) Доказати да је \(\mathbb{C}^* / \langle 2i \rangle \equiv U \times U.\)

5

Одредити до на изоморфизам све Абелове групе реда \(75600\) које нису цикличне, и имају елементе реда \(1800.\) Одредити њхову нормалну и елементарну форму и у њма одредити број елемената реда \(1800.\)