Колоквијум из предмета Анализа 1 За смерове Л, М, Н, Р, В.

Одредити инфимум и супремум следећих скупова:

1. \[A = \left\{ \frac{m^2-n}{m^2+n^2} \,\middle|\, m,n \in \mathbb{N},\, m > n\right\}.\]
2. \(B \subset \mathbb{R}\) у којима тангента на функцију \(x^2e^x\) не сече негативни део \(x\)-осе.
3. \[C = A \cdot B = \{xy\mid x \in A, y \in B\}.\]

Одредити граничну вредност низа чији је општи члан \[ a_n = n^3\left(\sin{\frac{1}{n}}\log\left(1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}\right)-\frac{1}{n}\log\left(1+\frac{1}{n}\right)\right)\]а потом израчунати \[\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{1\cdot a_1 + 2\cdot a_2 + \cdots + n\cdot a_n}{n^2}.\]

Испитати ток и скицирати график функције \[h(x) = x\log\left(1+\frac{2}{2x+1}\right).\]

Дата је функција \(f:[-1,1] \rightarrow \mathbb{R}\) непрекидна на \([-1,1]\) и два пута диференцијабилна на \((-1,1)\), која има превојну тачку и за коју важи да је \(f(0)=0\) и \(f(-1)+f(1)\gt 0.\) Доказати да постоји тачка \(\xi \in (-1,1)\) таква да је \(f''(\xi) = \frac{f(-1)+f(1)}{2}.\)