Колоквијум из предмета Анализа 1 За смерове Л, М, Н, Р, В.

Нека је \((x_n)_{n \in \mathbb{N}}\) монотон низ реалних бројева такав да је \(\lim_{n\rightarrow \infty}2x_{n+1}-x_n = x \in \mathbb{R}.\)

1. Доказати да је низ \((x_n)_{n \in \mathbb{N}}\) ограничен.
2. Доказати да је низ \((x_n)_{n \in \mathbb{N}}\) конвергентан и наћи његову граничну вредност.
3. Доказати да део под 2 важи и без претпостовке о монотоности низа \((x_n)_{n \in \mathbb{N}}.\)

1. Нека је \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) диференцијабилна функција и нека је \(x_0 \in \mathbb{R}.\) Препоставимо да је \(f(x_0)=0\) и \(f'(x) > f(x)\) за \(x \in [x_0, +\infty).\) Доказати да је \(f(x) > 0\) за \(x>x_0.\)
2. Доказати да једначина \( e^{x-1} = 1+ x + \frac{x^2}{2}\) има јединствено решење.

Нека су \(f, g:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}\) непрекидне функције за које важи \[\sup_{0\leq x \leq 1} f(x) = \sup_{0 \leq x \leq 1} g(x).\] Доказати да постоји \(t \in [0,1]\) такво да је \[(f(t))^{2020} + \sin\left((g(t))^{2020}\right)=(g(t))^{2020} + \sin\left((f(t))^{2020}\right).\]

Нека је \(B=\{\log(n) - 2k\pi | n \in \mathbb{N}, k \in \mathbb{N_0}\}.\)

1. Показати да је скуп \(B\) затворен у односу на операцију \(+.\)
2. Показати да за свако \(\epsilon > 0\) постоје \(n \in \mathbb{N}\) и \(k \in \mathbb{N_0}\) такви да важи \(\log(n)-2k\pi \in (0,\epsilon).\)
3. Одредити \(\inf B^*_+,\) где је \(B^*_+ = \{b \in B | b>0\}.\)
4. Показати да је скуп \(B\) густ у \([0,+\infty).\)
5. Показати да је скуп \(\{\sin(\ln n) | n \in \mathbb{N}\}\) свуда густ у скупу \([-1,1].\)