Писмени испит из предмета Геометрија 2 За смерове Л, М, Н, Р, В.
1
Нека је \(O\) произвољна тачка у унутрашњој области троугла \(ABC\) таква да важи да је \(\angle OBA=\angle OCA\) Ако су \(P\) и \(Q\) подножја нормала из те тачке на странице \(AB\) и \(AC\), а \(A_1\) средиште ивице \(BC\), доказати да је \(A_1P=A_1Q\)
2
Нека су \(A,B,C\) и \(D\) тачке на правој \(p\) и \(A',B',C'\) и \(D'\) тачке на правој \(q\) такве да важи \(\mathcal{H}(A,B;C,D)\) и \(\mathcal{H}(A',B';C',D')\). Доказати да ако су праве \(AA'\), \(BB'\) и \(CC'\) конкурентне, да онда и права \(DD'\) припада том прамену правих.
3
Нека је \(S\) центар уписаног круга троугла \(ABC\) и \(P\) додирна тачка тог круга са ивицом \(BC\). Доказати да је \(S_{SC}\circ S_{SA}\circ S_{SB} = S_{SP}.\)
4
У Поенкареовом диск моделу конструисати \(h\)-дуж мере \(\Pi^{-1}\left(R\over 6\right).\).
5
Нека су \(P, Q, R\) и \(S\) тачке у којима раван \(\pi\) сече ивице \(AB,BC,CD\) и \(DA\) тетраедра \(ABCD\). Ако је четвороугао \(PQRS\) паралелограм доказати да су праве \(AC\) и \(BD\) паралелне равни \(\pi.\)