04.02.2019.
Колоквијум из предмета Анализа 1 За смерове Л, М, Н, Р, В.
Први колоквијум
Студенти раде прва три задатка, као и један од задатака 4 или 5 по избору. У угластим заградама наведено је колико сваки део задатка носи поена.
Вредност сваког задатка је 7.5
1
- [1] Наћи реалне бројеве \(a_1, b_1, c_1, d_1, a_2, b_2, c_2, d_2\) тако да важи \(f(x)=a_1 x+b_1+\frac{c_1}{x}+\frac{d_1}{x^2}+o\left(\frac{1}{x^2}\right)\) кад \(x \rightarrow -\infty.\)
- [5,5] Испитати ток и скицирати график функције \(f(x).\)
- [1] У зависности од реалног параметра \(\alpha\), наћи број решења једначине \(f(x)=\alpha.\)
2
3
- [1,5] Доказати да једначина \(e^x +nx = 2019\) има јединствено решење за сваки природан број \(n\in\mathbb{N}\)
- [4] За фиксирани природни број \(n\), означимо са \(a_n\) решење једначине из 1, а затим формирајмо низ \(\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}\). Доказати да је низ \(\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) конвергентан.
- [2] Израчунати \(\lim_{n \rightarrow \infty} n(n(2018-na_n)-2018).\)
4
- [1,5] Доказати да је функција \(f(x)=x^p,\) где је \(0\leq p \leq 1,\) равномерно непрекидна на \((0,\infty).\)
- [6] Испитати равномерну непрекидност функције \(g(x)=x^{\frac{1}{3}}(\ln(1+|x|)+1)\) на \(\mathbb{R}.\)