Колоквијум из предмета Анализа 1 За смерове Л, М, Н, Р, В.

Дата је функција \(f(x)=\frac{x^2}{\sqrt[3]{x^3-4}}.\)

1. [1] Наћи реалне бројеве \(a_1, b_1, c_1, d_1, a_2, b_2, c_2, d_2\) тако да важи \(f(x)=a_1 x+b_1+\frac{c_1}{x}+\frac{d_1}{x^2}+o\left(\frac{1}{x^2}\right)\) кад \(x \rightarrow -\infty.\)
2. [5,5] Испитати ток и скицирати график функције \(f(x).\)
3. [1] У зависности од реалног параметра \(\alpha\), наћи број решења једначине \(f(x)=\alpha.\)

Дат је скуп \( S = \left\{\left. \frac{nm^2+2nm-n-4m^2-8m+4}{nm^2+2nm} \right\vert n, m \in \mathbb{N} \right\} \cup \left\{ \left. \frac{10n^2}{m^2+m+7n^2}\right\vert n, m \in \mathbb{N} \right\}.\) Наћи ако постоје, \(\sup S, \inf S, \max S\) и \(\min S.\)

1. [1,5] Доказати да једначина \(e^x +nx = 2019\) има јединствено решење за сваки природан број \(n\in\mathbb{N}\)
2. [4] За фиксирани природни број \(n\), означимо са \(a_n\) решење једначине из 1, а затим формирајмо низ \(\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}\). Доказати да је низ \(\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) конвергентан.
3. [2] Израчунати \(\lim_{n \rightarrow \infty} n(n(2018-na_n)-2018).\)

1. [1,5] Доказати да је функција \(f(x)=x^p,\) где је \(0\leq p \leq 1,\) равномерно непрекидна на \((0,\infty).\)
2. [6] Испитати равномерну непрекидност функције \(g(x)=x^{\frac{1}{3}}(\ln(1+|x|)+1)\) на \(\mathbb{R}.\)

Нека је \(f\) непрекидно диференцијабилна функција на \([a,b]\) и нека постоји \(c \in (a,b)\) тако да је \(f'(c)=0.\) Доказати да постоји \(\xi \in (a,b)\) тако да је \(f(\xi) = f(a) + f'(\xi)(b-a).\)