МАТФ РОКОВИ
Сви рокови •  Анализа 1:
08.02.2018.

Колоквијум из предмета Анализа 1 За смерове Л, М, Н, Р, В.

Анализа 1 први колоквијум

1

Ако су дати скупови \(A\) и \(B\) дефинишимо скуп \(C\) са: \[ C = \left\{ \frac{a}{b} \mid a \in A, b \in B \right\}.\]
  1. Доказати да ако су \(A, B\) непразни скупови такви да је \(A, B \subset [1, +\infty)\) важи \(\sup C = \frac{\sup A}{\inf B}.\)
  2. Схта можемо знати за \(\sup C\) ако су \(A, B\) непразни скупови такви да је \(A, B \subset (- \infty, -1]?\)
  3. Ако су \(A\) и \(B\) произвољни непразни скупови реалних бројева да ли важи тврђење дела (1)?
  4. Одредити \(\sup C\) у зависности од \(\alpha\) ако су скупови \(A\) и \(B\) задати са: \[A = \left\{ (n+1)^{\frac{2}{n^2}} \mid n \in \mathbb{N}\right\}.\qquad B = \{x(\alpha - x) \mid x \in (0,1),\, \alpha \in \mathbb{Q}\}.\]

2

Испитати ток и скицирати график функције: \[f(x) = \frac{e^{\frac{1}{x-1}} \lvert x-1\rvert}{x-2}.\]

3

  1. Развити функцију \(\arcsin x\) у околини нуле до \(x^5.\)
  2. У зависности од реалног параметра \(\beta\) одредити граничну вредност низа \(\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) чији је општи члан задат са:\[ a_n = \frac{(\arcsin\frac{1}{n} - \sin\frac{1}{n} - \frac{1}{3n^3})(n+3)^\frac{3}{2}}{\left( (\cos\frac{1}{n})^{\sin\frac{1}{n^2}}-(1+\frac{1}{n^3})^\beta \right)\sqrt n} .\]

4

Дата је непрекидна функција \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}.\) Пресликавање \(g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) је задато као растојање тачке \(T(2018,2018)\) од тачке \(M(x,f(x)).\)
  1. Доказати да је \(g\) непрекидна функција.
  2. Доказати да је \(g(\mathbb{R}) = [\xi, +\infty).\) где је \(\xi\) ненегативан реалан број.