Колоквијум из предмета Анализа 1 За смерове Л, М, Н, Р, В.

Наћи \(\sup S, \inf S,\) као и \(\min S\) и \(\max S\) ако постоје, где је скуп \(S\) задат са: \[S =\left\{ \frac{n - \sqrt n}{n+1} \frac{m^2+1}{2m^2+m} \,\middle|\, m, n \in \mathbb{N} \right\}.\]

Дата је функција \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) која је диференцијабилна. Ако је \(0 \lt a \lt b\) доказати да постоји \(\xi \in (a,b)\) такво да је: \[ \frac{b-a}{2} \frac{f'(\xi)}{\xi} = \frac{f(b)-f(a)}{b+a}.\]

Дато је пресликавање \[f(x) = \sin^\alpha(\pi |x-2|)(x^3-x),\quad \alpha \in \mathbb{R}.\]У зависности од реалног параметра \(\alpha:\)

1. Одредити домен пресликавања \(f,\) а затим и највећи подскуп \(\mathbb{r}\) на коме се \(f\) може продужити до непрекидног пресликавања.
2. Одредити највећи подскуп \(\mathbb{R}\) на коме се \(f\) може продужити до диференцијабилног пресликавања.
3. Испитати равномерну непрекидност пресликавања \(f\) на домену.

1. Доказати да је \(\arctan x + \arctan{\frac{1}{x}}\) константа функција на интервалима \((-\infty, 0)\) и \((0, +\infty).\) Уз помоћ тога одредити развој функције \(\arctan x\) до \(x^3\) у околини бесконачности.
2. У зависности од реалних параметара \(\alpha > 0\) и \(\beta\) одредити граничну вредност низа \(\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) чији је општи члан задат са: \[a_n = \frac{\arctan{n^\alpha} - \frac{\pi}{2} \cosh{\frac{1}{\sqrt{n^3}}} + \left(\frac{n^3+2}{n^3+3}\right)^3-(\cos\frac{1}{n})^{\sin{\frac{1}{n+2}}}}{n^\beta}.\]