Колоквијум из предмета Анализа 1 За смерове Л, М, Н, Р, В.

1. Испитати ток и нацртати график функције: \[f(x)=\frac{\log{|x+1|}+1}{(x+1)(1-\log{|x+1|})}.\]
2. Одредити кардиналност \(f^{-1}({a})\) у зависности од параметра \(a.\)

Дат је интеграл \(\int_0^1{\frac{\log(1-x^2)}{(a-x)^2}dx}\)

1. Доказати да интеграл конвергира за \(\alpha \gt 1\) и израчунати га.
2. Испитати конвергенцију датог интеграла за \(0 \lt \alpha \leq 1.\)

Нека је \(\sum_{n=2}^\infty a_n\) конвергентан ред. Испитати конвергенцију реда \(\sum_{n=1}^\infty b_n\) где је \(b_n =\frac{(n+a_n)a_n)}{(n+1)(1+a_n)}\) ако:

1. \(\sum_{n=1}^\infty a_n^2\) конвергира.
2. \(a_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt n}.\)

Ако је \(f \in C^1(\mathbb{R})\) таква да је \(\int_0^1 x^3f(x)dx=0\) и \(f\) има локални максимум у \(\frac{1}{4},\) доказати да постоји \(\xi\) такво да је \(f'(\xi)=2f(1).\)