Писмени испит из предмета Диференцијалне једначине А За смерове М, Н.

Испитати егзистенцију и јединственост Кошијевог проблема \(y'=f(x,y),\) \(y(1)=0,\) ако је:

1. \(f(x,y)=\lvert y\rvert\sin x;\)
2. \(f(x,y)=y^2;\)
3. \(f(x,y)=2\sqrt y.\)

1. Наћи највећи подскуп простора \(\mathbb R^2\) на коме је једначина \(x'=1+x^2\) дефинисана.
2. Решити једначину \(x'=1+x^2\) са почетним условом \(x(0)=x_0\) и одредити макcималан интервал решења. Одговор образложити у светлу Теореме о продужењу решења.
3. Нека је \(f\colon \mathbb R^n\rightarrow\mathbb R^n\) функција класе \(C^1\) и нека је \(\langle\cdot,\cdot\rangle\) стандардни скаларни производ на \(\mathbb R^n.\) Ако важи \(\langle f(x), x\rangle\lt 0\) за свако \(x\in\mathbb R^n\) доказати да је решење једначине \(x'=f(x),\) \(x(t_0)=x_0\) дефинисано \(\forall t\gt t_0.\)

Решити диференцијалну једначину \(2xyy'-y^2+x=0.\) Одредити оно решење једначине чија интегрална крива пролази кроз тачку \((1,0),\) а затим одредити запремину тела које настаје ротацијом фигуре ограниченом том кривом и \(x\)-осом око \(x\)-осе.

Одредити решење диференцијалне једначине \(y'''\cos x -3y''\sin x - 2y'\cos x +\sin x=0\) које задовољава услове \(y(0)=0,\) \(y'(0)=1,\) \(y''(0)=1.\)