Писмени испит из предмета Диференцијалне једначине А За смерове Л, Н, В.

Скицирати поље праваца диференцијалне једначине \(y' = \frac{x}{y}.\) Не решавајући дати диференцијалну једначину скицирати интегралне криве решења које пролазе редом кроз тачке \((-2,1),\)\((-1,1),\)\((0,1),\)\((1,1)\) и \((2,1).\) Да ли је максимални интервал егзистенције сваког непродуженог решења дате диференцијалне једначине скуп \(\mathbb{R}?\) Ако није, навести пример непродуживог решења чији максималан интервал егзистенције није скуп \(\mathbb{R}.\)

Дата је диференцијална једначина \(y' + y = 2(y^2 - e^{-2x}).\)

1. Не решавајући дату диференциалну једначину доказати да за свако решење једначине које задовољава услов \(y(0) = a\), где је \(a \in (-1, 1),\) важи да је \(-e^{-x} < y(x) < e^{-x}.\)
2. Решити дату диференцијалну једначину.

Спољашња температура једног новембарског дана у Београду је одређена са \[ \tau (t) = \frac{5}{9} \left(38-10\cos\left(\frac{\pi t}{12}\right)\right),\quad t \in [0,24.]\]Коефицијент хлађења зграде у Београду је био \(k=\frac{1}{4}.\) Ако је температура унутар зграде у поноћ (0 часова) била \(15^{\circ}C,\) користећи Њутнов закон хлађена у \(12\) часова?

Решити диференцијалну једначину \(1 - xy' - x^2(1+y^2y') - x^3y' = 0.\)