08.06.2020.

Писмени испит из предмета Диференцијалне једначине А за смер М

1

Наћи све функције \(f\colon [0,+\infty)\rightarrow [0,+\infty)\) тако да је \(f(0)=1\) и за које важи да је бројна вредност површине испод графика функције \(f\) од \(0\) до \(x_0\) једнака бројној вредности дужине лука графика функције \(f\) од \(0\) до \(x_0,\) за свако \(x_0\in(0,+\infty)\).

2

За \(\lambda\in\mathbb R\) дата је диференцијална једначина

\[(1-x^2)y''-xy'+\lambda^2y=0.\]

1. Наћи решење ове диференцијалне једначине у облику степеног реда за \(\lvert x\rvert\lt1.\)
2. Посматрајмо решења за која важи \(y'(0)=0.\) Наћи све вредности параметра \(\lambda\) тако да су сва таква решења полиноми.

3

Одредити решења диференцијалне једначине

\[y''y - y'^2 - y^2\frac{3y'-xy-14y}{y'+xy-2y}=0\]

која задовољавају услов \(y'(0)=6y(0).\)