Писмени испит из предмета Алгебра 1 За смерове Л, Р.
1
Решити систем конгруенција \[\begin{aligned}x &\equiv_{41} (20!)^2+2020^{202^{20}}\\ x &\equiv_{83} 60! \cdot 23!\end{aligned}\]
2
Нека су у \(S_{10}\) дате пермутације \[ f = \lfloor 2, 5, 8, 6, 3, 7 \rfloor \lfloor 9, 4, 6, 2, 7, 8 \rfloor \] и \[ g = \lfloor 1, 5, 6, 7, 3, 4 \rfloor \lfloor 7, 5, 3 \rfloor \lfloor 4, 6, 8, 2, 5, 1 \rfloor.\] Одредити цикличну декомпозицију ред и знак за \(f, g, (fgf^{-1})^{2020} \) и \( f^{20} g^{20} \) .
3
Нека је \( G = \langle a \rangle\) циклична група реда \(392\). Одредити број генератора ове групе. Одредити све подгрупе групе \(G\). Одредити редове елемената \(a^{20}\) и \(a^{242}. \) Колико има хомоморфизама \(f: G \rightarrow H \) где је група \(H\) реда \(3125.\)
4
Нека је \(h:G \rightarrow K\) хомоморфизам и \(H \leq K.\) Доказати да је \(h^{-1}(H) \leq G .\) Уколико је још и \(H \lhd K, \) да ли је \(h^{-1}(H) \lhd G?\) Уколико је \(S \subseteq K\) такав да је \(h^{-1}(S) \leq G\) да ли је тада и \(S \leq K?\)