Писмени испит из предмета Диференцијалне једначине А За смерове М, Н.

Показати да не постоји непрекидно-диференцијабилна функција \(f(x,y)\) таква да су \(y(x)=\sin(x)\) и \(y(x) = \cos(x)\) решења једначине \(y'(x)=f(x,y).\)

Решити једначину дату са \((2y^2+\frac{\cos x}{x})dx + (3xy + \frac{\sin x}{xy})dy = 0.\)

1. (а) Доказати да се \(F(y,y',y'')=0\) сменом \(z(y)=y'\) своди на једначину првог реда.
2. (б) Решити диференцијалну једначину \(x^4y'' = 2xyy' + x^3y' - 4y^2.\)

Дата је једначина \[\mathbf{x}'(t) = F(\mathbf{x}(t)), \mathbf{x}(0) = (x_0, y_0)\] где је \(F(x,y) = (-y,x).\)

1. (а) Написати једначину тока \(\phi_t : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2\) задатог диференцијалном једначином. Шта \(\phi_t\) представља геометријски?
2. (б) Конструисати дифеоморфизам \(\phi:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2\) са компактним носачем који слика елипсу \(\frac{x^2}{2^2} + \frac{y^2}{1^2} = 1\) у елипсу \(\frac{x^2}{1^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1\) такав да је \(\phi((2,0)) = (0,2).\)
3. (в) Конструисати дифеоморфизам \(\psi: \mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2\) са компактним носачем који слика елипсу \(\frac{x^2}{2^2}+\frac{y^2}{1^2} = 1 \) у елипсу \(\frac{x^2}{2^2} + \frac{y^2}{4^2}=1\) такав да је \(\psi((2,0))=(0,4).\)