Писмени испит из предмета Дистрибуције и парцијалне једначине А За смерове М, Н.

Нека је \(\Omega = (0,1)^2.\)

1. Нека је за функцију \(u \in C^2(\overline{\Omega}, \mathbb{R}) \cap h(\Omega, \mathbb{R})\) важи: \[\begin{aligned}&u(x,0) = u(x,1) = 0, & \text{за свако } x \in [0,1]\\&u_x(0,y) = u_x(1,y) = 0, & \text{за свако } y \in [0,1] .\\\end{aligned}\] Доказати да је тада \[\iint_{\Omega} u_x^2\left(x,y\right) + u_y^2\left(x,y\right)dx\,dy = 0.\]
2. Решити проблем (одредити решење класе \(C^2(\overline{\Omega}, \mathbb{R})\) и доказати да је јединствено): \[\begin{aligned}&\Delta u = 0. &(x,y) \in \Omega,\\&u(x,0) = \cos{\pi x}, u(x,y) = \cos(2 \pi x), &0 \leq x \leq 1,\\&u_x(0, y) = 0, u_x(1,y) = 0, &0 \leq y \leq 1.\\\end{aligned}\]

Нека је \(D \subset \mathbb{R}^n \) ограничена област, \(a_1, a_2 \ldots a_k \in D\) и \(u: \overline{D}\setminus \{a_1, a_2 \dots a_k\} \rightarrow \mathbb{R}\) функција за коју важи:

1. непрекидна је на \( \overline{D} \setminus \{a_1, a_2 \ldots a_k \}\)
2. хармонијска је на \(D \setminus \{a_1, a_2 \ldots a_k \}.\)
3. \( \lim_{x \rightarrow a_i} u(x) = +\infty\), за свако \(i \in \{1, 2, \ldots k\}.\)

Доказати да функција \(u\) достиже минимум и то на \(\partial D\).

Нека је \(D = \{(x,t) \in \mathbb{R}^2: 0 \lt x \lt \pi , t \gt 0 \}.\) Решити проблем (одредити решење класе \(C^2(\overline{D}, \mathbb{R})\) и доказати да је јединствено): \[\begin{aligned}&u_{tt} = u_{xx} + t^2 \sin^3{x} + \frac{2x}{\pi}, &(x,t) \in \overline{D}\\&u(x,0) = 0, u_t(x,0) = 1- \frac{x}{\pi}, &0 \leq x \leq \pi,\\&u(0,t) = t, u(x,t) = t^2, &t \geq 0.\\\end{aligned}\]

Одредити тип, свести на канонски облик и одредити опште решење парцијалне једначине: \[u_{xx} + y u_{yy} + \frac{1}{2}u_y=0,\] при чему \((x,y) \in D,\) где је \(D=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2: y \lt 0\}.\)