Писмени испит из предмета Алгебра 1 За смерове М, Н, В.
Јануар 1.
Обавезни део чине прва три задатка. Изборни део 1 чине задаци 4, 5 и 6, а Изборни део 2 чине задаци 7, 8 и 9.
1
На скупу \(G=\mathbb Q\times(\mathbb Q\setminus \{0\})\) дефинисана је операција \(*\) са \[(a,b)*(x,y)=(a+b+bx, by),\, a,x\in\mathbb Q,\, b,y\in\mathbb Q\setminus\{0\}.\] Доказати да је \((G,*)\) група, а затим испитати да ли је скуп \(S=\left\{(m,n)\mid m,n\in\mathbb Q, n\gt 0\right\}\) подгруна од \(G.\)
2
Посматрајмо групу \(G=\mathbb S_7\times\mathbb Z_5\) и елемент \(\sigma=(\lceil 1,2,5\rfloor\lceil 3,6\rfloor, 4)\) из \(G\)
- Описати \(C_G\{\sigma\}\) и одредити број елемената тог централизатора.
- Испитати да ли је циклична подгруна \(\langle\sigma\rangle\) нормална у \(G.\)
3
- Одредити елементарну и нормалну форму Абелове групе \(G=\mathbb Z_{200}\times \mathbb Z_{250}\times\mathbb Z_{385}\times\mathbb Z_{550}.\)
- Одредити број елемената реда \(20,\) као и максимални ред у \(G.\)
4
Решити систем конгруенција: \[\begin{aligned}x&\equiv 7\pmod{11}\\ x&\equiv 4\pmod{15}\\ x&\equiv 6\pmod{8}.\end{aligned}\]
5
Нека је \(G=\langle a\rangle\) циклична група реда \(2500.\) Одредити редове елемената \(a^{300}\) и \(a^{2200}\) у \(G,\) показати да је \(a^{111}\) једап генератор групе \(G\) и испитати дали је пресликавање \(f\colon G\rightarrow G\) одређено са \(f\colon a^{111}\rightarrow a^{112}\) један аутоморфизам групе \(G.\)
6
Посматрајмо пресликаванње : \(\varphi\colon\mathbb S_7\times\mathbb Z_{16}\times\mathbb Z_2\times \mathbb Z_{24}\) дефинисано са \[\varphi(\sigma,x)=(\mathrm{sgn}(\sigma),3\cdot_{24} x),\quad \sigma\in\mathbb S_7,x\in\mathbb Z_{16},\] где је \(\mathrm{sgn}(\sigma)=0\) ако је \(\sigma\) парна, а \(\mathrm{sgn}(\sigma)=1\) ако је \(\sigma\) непарна пермутација. Доказати да је \(\varphi\) хомоморфизам и одредити његово језгро.
7
Нека је \(G\) коначна група чији је ред дељив са \(5\) и \(S\) скуп свих елемената реда \(5\) у \(G.\) Доказати да је \(\lvert S\rvert\) природан број дељив са \(4.\)
8
Нека је \(G\) коначна група и \(N\) пормална подгрупа од \(G.\) Претпоставимо да је ред \(n\) подгрупе \(N\) узајамио прост са индексом \([G\colon N]=m.\)
- Доказати да је \(N=\left\{a\in G\mid a^n=e\right\}.\)
- Доказати да је \(N=\left\{b^{m}\mid b\in G\right\}.\)
9
Нека су \(H\) и \(K\) подгрупе групе \(G\) и \(a\in G.\) Доказати да је број левих косета подгруне \(H\) садржаних у \(K a H\) једнак индексу подгрупе \(aHa^{-1}\cap K\) у \(K,\) при чему је \(KaH=\left\{kah \mid k\in K, h\in H\right\}.\)