Писмени испит из предмета Топологија А За смер М.

Ако је \(X\) локално путно повезан тополошки простор и \(U\) повезан отворен скуп од \(X,\) показати да је \(U\) путно повезан.

Нека је \(\left\{X_\alpha \mid \alpha\in\mathcal A\right\}\) фамилија тополошких простора. За сваки непразан \(\mathcal B\subset \mathcal A\) имамо стандардну пројекцију \(p_{\mathcal B}\colon \prod_{\alpha\in\mathcal A}X_\alpha \rightarrow \prod_{\beta\in\mathcal B}X_\beta.\) Нека је \(A\) затворен скуп у производу \(\prod_{\alpha\in\mathcal A}X_\alpha.\) Доказати да важи \[A=\bigcap_{\mathcal B \subset\mathcal A} p_{\mathcal{B}}^{-1}\left(p_{\mathcal B} (A)\right),\] где је пресек по свим непразним коначним подскуповима \(\mathcal B\) скупа \(\mathcal A.\)

Доказати да је компактификација једном тачком скупа природних бројева \(\mathbb N\) са дискретном топологијом хомеоморфна скупу \(\left\{\frac{1}{n}\mid n\in\mathbb N\right\}\cup\{0\}\) са топологијом наслеђеном од стандардне топологије на \(\mathbb R.\)

Нека је \(X\) регуларан простор и \(x,y\in A,\, x\ne y.\) Показати да постоје отворени скупови \(U\) и \(V\) у \(X\) такви да је \(x\in U,\, y\in V\) и \(\overline{U}\cap\overline{V}=\emptyset.\)