МАТФ РОКОВИ
09.06.2017.

Писмени испит из предмета Алгебра 1 За смерове М, Н, В.

Јун.
Обавезни део чине прва три задатка. Изборни део 1 чине задаци 4, 5 и 6, а Изборни део 2 чине задаци 7, 8 и 9.

1

10 поена

Посматрајмо групу \(\mathcal H = \left \{ \begin{bmatrix} 1 & a &b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \mid a,b,c,\in \mathbb R \right\}\) односу на операцију миожења матрица.

  1. Показати да је \(\mathcal H\) подгруна групе \(GL_3(\mathbb R).\)
  2. Наћи центар групе \(\mathcal H.\)

2

10 поена

Уочимо пермутације \(\alpha = \lfloor 1,2,4,7\rfloor \lfloor 3,6,5,8\rfloor\) и \(\beta=\lfloor 1,3,4,8\rfloor \lfloor 2,5,7,6\rfloor\) из \(\mathbb S_8.\) Одредити \(\alpha^{-1}\beta\alpha,\alpha^{1991},\alpha\beta\) и \(\beta\alpha,\) а затим показати да је подгрупа од \(\mathbb S_8\) генерисана са \(\alpha\) и \(\beta\) изоморфна кватернионској групи \(\mathbb K_8.\)

3

10 поена

Посматрајмо Абелову групу \(G\cong\mathbb Z_{50} \times \mathbb Z_{90} \times \mathbb Z_{300}.\)

  1. Одредити нормалну и елементариу форму груне \(G\)
  2. Одредити број елемената реда \(5\) и број елемената реда \(12\) у \(G.\)

4

7 поена

Одредити остатак броја \(2016^{2017^{2018}}\) при дељењу са \(77.\)

5

7 поена

Одредити редове елемената \((\lfloor 1,3,4\rfloor\lfloor 2,5\rfloor, \sigma\rho)\) и \((\lfloor 1,2,3,4\rfloor\lfloor 2,4\rfloor, \rho)\) у групи \(G=\mathbb S_5\times\mathbb D_4.\) Испитати да ли је циклична подгрупа генерисана са \((\lfloor 1,3,5\rfloor, \rho)\) нормална у \(G.\)

6

7 поена

Посматрајмо пресликавање \(\varphi \colon \mathbb C^*\rightarrow GL_2(\mathbb R)\) дефииисано са \[\varphi (a+bi) = \begin{bmatrix} a^2 - b^2 & 2ab \\ - 2ab & a^2-b^2 \end{bmatrix},\quad a,b\in\mathbb R.\]Испитати да ли је \(\varphi\) хомоморфизам и у случају да јесте, одредити његово језгро.

7

10 поена

Нека је \(G\) Абелова група и \(\varphi\colon G\rightarrow \mathbb Z\) сурјективан хомоморфизам. Доказати да је \[G\cong\ker\varphi\times\mathbb Z.\]

8

10 поена

Нека је \(p\gt 2\) прост број. Одредити све (праве) нормалне подгрупе диедарске групе \(\mathbb D_{2p}.\)

9

10 поена

Нека је \(G\) група таква да за свака три елемента \(a,b,c\in G\) различита од неутрала, важи \[abc=cba.\] Доказати да је \(G\) Абелова група.