Писмени испит из предмета Алгебра 1 За смерове М, Н, В.

Нека је \((G,\circ)\) група и \(g\in G\) произвољни фиксирани елемент. Дефинишемо на \(G\) бинарну операцију \(\star\) са \[x\star y = x\circ g \circ y, \quad x,y,\in G.\]

1. Показати да је и \((G,\star)\) једна група.
2. Да ли су групе \((G,\circ)\) и \((G,\star)\) изоморфне?

Нека је \(G=\mathbb S_{10}\) и \(f=\lceil 2,3,4\rceil \lceil 1,2,5\rceil \lceil3,6,1,7\rceil.\)

1. Представити пермутацију \(f\) као производ дисјуиктних циклова и наћи ред те пермутације.
2. Описати \(C_G f\) и одредити колико елемената тај централизатор садржи.

1. Испитати да ли постоји природан број \(n\) такав да је \(\mathbb Z_{100}\times\mathbb Z_{300}\cong\mathbb Z_n.\)
2. Испитати да ли постоји природан број \(n\) такав да је \(\mathbb Z_{250}\times\mathbb Z_{300}\cong\mathbb Z_{50}\times\mathbb Z_n.\)

Решити систем конгруенција: \[\begin{aligned} x &\equiv 3\pmod 7 \\ x &\equiv 7 \pmod 9 \\ x &\equiv 4 \pmod 5.\end{aligned}\]

Нека је \(G = \langle a \rangle\) циклична група реда \(1800.\) Одредити ред елемената \(a^{1000}\) и \(a^{1600}\) у \(G\) и испитати да ли је \(a^7\) један генератор групе \(G.\) Испитати да ли је \(G/\langle a^{30}\rangle \cong \langle a^{60}\rangle.\)

Посматрајмо пресликавање \(h\colon (\mathbb R, +)\rightarrow (GL_2(\mathbb R),\cdot) \) дефинисано са \[h(t)=\begin{bmatrix} \cos(t) & \sin(t) \\ -\sin(t) & \cos(t) \end{bmatrix}.\] Показати да је \(h\) хомоморфизам и одредити његово језгро.

Нека су \(G,H\) и \(k\) групе, а \(f\colon G\rightarrow H\) и \(g\colon G\rightarrow K\) хомоморфизми гакви да је \(f\) на и \(\ker f \subseteq \ker g.\) Показати да постоји хомоморфизам \(h\colon H\rightarrow K\) такав да је \(h\circ f= g.\)

Нека је \(G\) коначна група и \(K\) циклична нормална подгрупа од \(G.\) Доказати да је свака подгрупа од \(K\) такође нормална у \(G.\)

Нека је \(\mathbb C ^* =\mathbb C \setminus \{0\}, \mathbb R^+ = \{x\in \mathbb R \mid x\gt 0\}\) и \(\mathbb S^1 = \{z\in \mathbb C \mid \lvert z \rvert = 1\}.\) Показати да је \[(\mathbb C ^*,\cdot)\cong (\mathbb R^+,\cdot)\times(\mathbb S^1,\cdot).\]