Писмени испит из предмета Алгебра 1 За смерове М, Н, В.

На скупу целих бројева \(\mathbb Z\) дефинисана је бинарна операција \(\star\) са \[m\star n = \begin{cases} m+n, & m=2k \\ m-n, & m=2k+1 \end{cases} \text{ за } m,n,k\in\mathbb Z\] Доказати да је \((\mathbb Z, \star)\) група. Да ли је ова група Абелова и да ли у њој постоје елементи реда 2? (10 поена)

Испитати да ли међу групама \(\mathbb A_4 \times \mathbb Z_3, \mathbb D_{18}, \mathbb D_9\times \mathbb Z_2\) и \(\mathbb S_3 \times \mathbb S_3\) има међусобно изоморфних.

Одредити, до на изоморфизам, све Абелове групе реда \(3528\) у којима постоје елементи реда \(24,\) али не постоје елементи реда \(49.\)

1. Наћи инверз броја \(3741\) у односу на множење по модулу \(5000.\)
2. Решити конгруенцију \(3741x \equiv 4 \pmod {5000}.\)

Дате су пермутације \(\pi = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 9 & 4 & 5 & 2 & 3 & 1 & 7 & 6 & 8 \end{pmatrix}\) и \(\sigma = \lceil 9,3,4,1\rfloor \lceil 1,5,6,2,3 \rfloor \lceil 2,3,1,7 \rfloor\) из \(\mathbb S_9.\) Прво представити те пермутације као производ дисјунктних циклова, затим одредити њихове редове, испитати да ли су оне међусобно конјуговане и израчунати \(\sigma^{-1},\pi^{-1}\sigma\pi, \pi^{1000}.\)

Нека је \(G\) група и \(H\) подгрупа од \(G\) такве да је \(\lvert G \rvert \lt 82, \lvert H \rvert \gt 15\) и \(\lbrack G\colon H \rbrack \gt 4.\) Одредити \(\lvert G \rvert, \lvert H \rvert \) \( \lbrack G\colon H \rbrack.\)

Нека је \(G\) група непарног реда и \(x\in G\) елемент различит од неутрала. Доказати да \(x\) и \(x^{-1}\) не могу бити конјуговани.

Нека је \(G\) Абелова група.

1. Доказати да су \(K=\{g\in G \mid g^2 =e\}\) и \(H=\{g^2 \mid g\in G\}\) две подгрупе од \(G.\)
2. Доказати да је \(G/K \cong H.\)

Нека је \(G\) подгрупа групе \(GL_2(\mathbb Q)\) генерисана матрицама \(\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}\) и \(\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0\end{bmatrix}.\) Доказати да је \(\lvert G \rvert =8,\) као и да је \(G\cong \mathbb D_4.\)