06.07.2022.
Писмени испит из предмета Дистрибуције и парцијалне једначине Б За смер М.
1
Нека је \(\varphi \in \mathcal D (\mathbb R)\) и дефинишимо \(f_1, f_2\) са
\[\langle f_1, \varphi \rangle = \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\varphi\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)-\varphi(0)}{n}, \quad \langle f_2, \varphi \rangle = \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\varphi\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)-\varphi(0)}{\sqrt n}.\]Испитати да је \(f_1, f_2\in\mathcal D'(\mathbb R).\)
2
- Претпоставимо да је дистрибуција \(f\in \mathcal D'(\mathbb R)\) таква да важи \(xf=\delta\). Доказати да је тада носач дистрибуције \(f\) скуп \(\{0\}\).
- Доказати да не постоји дистрибуција \(f\in \mathcal D'(\mathbb R)\) таква да важи \(xf=\delta\).
3
Нека је \(u\in W^{1,1}(0,1)\) такво да је \(\int^1_0 u(x) \mathrm dx=0.\) Доказати да је \(\lVert u \rVert_{L^1(0,1)}\le \lVert u' \rVert_{L^1(0,1)}.\)