16.06.2022.

Писмени испит из предмета Дистрибуције и парцијалне једначине Б за смерoве М, Н

Време израде: 135 минута.

1

За \(\varepsilon > 0\) нека је \(f_\varepsilon : \mathbb R \rightarrow \mathbb R\) дата као

\[f_\varepsilon = \begin{cases} \frac \varepsilon {\pi x^2} \sin^2 \frac x \varepsilon, &x \neq 0 \\ \frac 1 {\varepsilon \pi}, &x = 0.\end{cases}\]
  1. Доказати да \(f_\varepsilon \in \mathcal D'(\mathbb R).\)
  2. Наћи \(f = \lim\limits_{\varepsilon \rightarrow 0^+} f_\varepsilon\) у \(\mathcal D'(\mathbb R).\)
  3. Да ли се неки од закључака из \(1\) или \(2\) мења ако се вредност \(f_\epsilon(0)\) промени из \(\frac 1 {\varepsilon \pi}\) у \(0?\)
  4. Испитати да ли \(f'_\varepsilon \in \mathcal D'(\mathbb R)\) и да ли је \(\lim\limits_{\varepsilon \rightarrow 0^+} f'_\varepsilon = f'\) у \(\mathcal D'(\mathbb R).\)

2

Нека је \(\chi_B\) карактеристична функција јединичне лопте \(B = \{(x,y) \in \mathbb R^2 \mid x^2+y^2 \leq 1\} \subseteq \mathbb R^2\) и \(\overrightarrow{n_x}\) јединични вектор дуж \(x\) правца. Доказати да је

\[\langle \frac{\partial \chi_B}{\partial x}, \varphi \rangle = - \int_{\partial B} \varphi(x,y) \langle (x,y), \overrightarrow{n_x}\rangle\,ds, \quad \forall \varphi \in \mathcal D(\mathbb R^2).\]

Напомена: Ознака \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) унутар интеграла је стандардни скаларни производ вектора у \(\mathbb R^2.\)

3

Ако \(f,g \in H^1(0,1)\) доказати да је тада:

  1. \(\lvert f \rvert \in H^1(0,1).\)
  2. \(\max\{f,g\} \in H^1(0,1).\)
  3. \(fg \in W^{1,1}(0,1).\)