МАТФ РОКОВИ
08.02.2019.

Писмени испит из предмета Геометрија 2 За смерове Л, М, Н, Р, В.

1

Нека су \(X,Y,Z\) редом тачке страница \(BC,CA,AB\) троугла \(\triangle ABC\) такве да праве \(AX,BY,CZ\) разлажу обим троугла на два једнака дела. Доказати да се праве \(AX,BY,CZ\) секу у једној тачки.

2

Конструисати троугао \(\triangle ABC\) такав да је страница \(AC\) подударна датој дужи \(b,\) страница \(AB\) подударна датој дужи \(c\) и тежишна дуж из темена \(A\) подударна датој дужи \(t_a.\)

3

Нека је \(l\) описани круг троугла \(\triangle ABC.\) Ако су \(P,Q\) тачке у којима медијатриса \(m\) странице \(BC\) сече праве \(AB,AC,\) доказати да је \(\psi_l(P)=Q.\)

4

Ако су \(\mathcal S_A\) и \(\mathcal S_B\) две разне централне симетрије простора и \(\mathcal S_\gamma\) раванска рефлексија простора, доказати да је композиција \(\mathcal S_B \circ \mathcal S_\gamma \circ \mathcal S_A\) нека раванска рефлексија \(\mathcal S_\delta\) ако и само ако је \(AB\bot\gamma.\)

5

Нека су у хиперболичкој равни \(a,b\) две хиперпаралелне праве, нека су \(p,q\) праве нормалне на \(a\) које су паралелне правој \(b\) и \(P,Q\) пресечне тачке правих \(p,q\) и праве \(a\). Ако је \(M\) средиште дужи \(PQ\) и \(N\) подножје нормале из \(M\) на \(b\), доказати да је \(MN\bot a.\)