Колоквијум из предмета Диференцијална геометрија За смер М.

Нека је \(f: M \rightarrow \mathbb R\) позитивна непрекидна функција на многострукости \(M.\) Доказати да постоји \(h \in \mathfrak{F}(M)\) такво да за свако \(p \in M\) важи \(0 < h(p) < f(p).\)

Доказати да је пресликавање \(f: \mathbb RP^1 \times \mathbb RP^1 \to \mathbb RP^3\) дато са \(f((x : y),(z:w)) = (xz:xw:yz:yw)\) добро дефинисано и испитати да ли је \(f\) смештање.

За многострукост \(M = \{(x,y) \in \mathbb R^2 : x > 0, y > 0\} \subset \mathbb R^2\) одредити векторско поље \(V \in \mathfrak X(M)\) ако је \[ \left[ \frac \partial {\partial y}, V \right] = 2 \frac {x+y}{y^2} \frac \partial {\partial x} \quad \text{ и } \quad \left[ y\frac \partial {\partial x}, V\right] = 0.\]

Нека је \(g = dx_1^2+dx_2^2-dx_3^2 \in \mathfrak T_2^0(\mathbb R^3),\) а \(f: \mathbb R^2 \to \mathbb R^3\) дато са \(f(x,y) = (x,y,\sqrt{1+x^2+y^2}).\) Израчунати \(f^*g\) и показати да је то Риманова метрика у \(\mathbb R^2.\)

Нека је \(M\) Риманова многострукост, \(\nabla\) њена Леви-Чивита повезаност, \(L\) Лијев извод и \(X \in \mathfrak X(M).\) Доказати да је \(L_Xg =0 \) ако и само ако за свако \(A, B \in \mathfrak X (M)\) важи \(g(\nabla_AX, B) = -g(\nabla_BX,A).\)