МАТФ РОКОВИ
11.01.2022.

Писмени испит из предмета Диференцијалне једначине А За смер М.

1

Нека је \(a \in \mathbb R.\) У зависности од параметра \(a\) скицирати поље праваца и интегралне криве диференцијалне једначине \(x' = a+x^2\) (не решавајући једначину) у ситуацијама када долази до квалитативних промена.

2

Дата су векторска поља \(X = (6x - 2y)\frac \partial {\partial x} + 5x \frac \partial {\partial y} + (z^4 + z) \frac \partial {\partial z}\) и \(Y = x \frac \partial {\partial z} \) у \(\mathbb R^3\) са координатама \((x,y,z).\)
  1. Наћи ток \(\phi^t\) векторског поља \(X\) и ток \(\psi^t\) векторског поља \(Y.\)
  2. Да ли токови \(\phi\) и \(\psi\) комутирају?
  3. Израчунати комутаторе \([Y,[X,Y]]\) и \([[Y,X+2Y],Y].\)

3

Нека је \(f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R\) непрекидна и ограничена функција, а \(g: \mathbb R\rightarrow \mathbb R\) Липшицова. Доказати да једначина \(X' = F(X),\) где је \(F(x,y) = (g(x), f(x)y)\) са датим почетним условом \(X(t_0) = X_0 \in \mathbb R^2\) има јединствено решење дефинисано на сваком интервалу у \(\mathbb R.\) [упутство: Гронвалова неједнакост]