Писмени испит из предмета Вероватноћа и статистика Б За смерове Л, М, Н.

За густину расподеле обележја \(X\) важи да је \(f(x; a) = \frac 2 \alpha x e^{-\frac {x^2} \alpha}, x > 0, \alpha > 0.\) За оцену непознатог параметра \(\alpha\) на основу узорка обима \(n\) предлажу се оцена добијена методом максималне веродостојности и \(nX^2_{(1)}.\) Испитати која је оцена боља у средње квадратном смислу.

Случајна величина \(Y\) има експоненцијалну \(\mathcal E(\ln 2)\) расподелу. За сваки природан број \(n\), нека је \(X_n = 3I\{Y < 1 + \frac 1 n\} + 2I\{Y \geq 1 + \frac 1 n\}.\) Ако низ случајних величина \((X_n)\) конвергира у расподели ка случајној величини \(X\) и ако за свако \(n\) важи да је \(E(X_nX) > \frac {31} 4 - 5 \cdot 2^{-2- \frac 1 n},\) одредити расподелу случајне величине \(X\) и испитати преостала три типа конвергенције низа \((X_n).\)

Мерена је висина мушкараца на узорку обима \(12\) и добијено је да се узорачка средина \(180.6 \, \mathrm{cm},\) а жена на узорку обима \(10\) и добијено је да је узорачка средина \(167.7 \, \mathrm{cm}.\) Сматра се да висина и код мушкараца и код жена има нормалну расподелу са дисперзијама \(\sigma^2\) и \(0.5 \sigma^2,\) редом, где је \(\sigma > 1\) и познато. Истраживач жели да тестира хипотезу да је разлика у средњим вредностима висине мушкараца и жена \(13\, \mathrm{cm},\) против хипотезе да је мања од \(13\, \mathrm{cm}.\) Ако је познато да је тест формиран тако да је вероватноћа тачног прихватања претпоставке да је разлика у средњим вредностима висина \(13\,\mathrm{cm}\) пет пута већа од верватноће погрешног одбацивања те претпоставке и да је моћ овог теста, за алтернативу \(15 - 2\sigma,\) једнака \(0.85,\) одредити \(\sigma\) и донети одлуку на основу датог узорка.