17.12.2021.
Колоквијум из предмета Анализа 3А За смерове Н, В.
Време израде: 150 минута.
Први колоквијум
1
35 поена
- [6] Доказати да је најмања \(\sigma\)-алгебра генерисана фамилијом скупова \(\{A_n : n \in \mathbb N\}\) једнака \(\mathcal P (\mathbb N).\) Израчунати \(\liminf\limits_{n \rightarrow \infty} A_n\) и \(\limsup\limits_{n \rightarrow \infty} A_n.\)
- [12] Продужити функцију \(\mu\) до мере на \(\mathcal P(\mathbb N)\) и показати да је такво продужење једна коначна мера на \(\mathcal P(\mathbb N).\) Израчунати \(\mu(\{2n : n \in \mathbb N\}).\)
- [17] Израчунати интеграл \[ \int_{\mathbb N} x \, \mathbf{d}\mu.\]
2
30 поена
3
- [15] Доказати да је функција \(f\) непрекидна на \([0,1].\)
- [20] Доказати једнакост \[\int_{[0,1]} f(x)\, \mathbf{d}m(x) = m(E) - \int_E x\, \mathbf{d}m(x).\]