МАТФ РОКОВИ
17.12.2021.

Колоквијум из предмета Анализа 3А За смерове Н, В.

Време израде: 150 минута.

Први колоквијум

1

35 поена
Нека је \(A_n = \{m \in \mathbb N : m \geq n\}\) и \(\mu(A_n) = \frac n {2^n}\) за свако \(n \in \mathbb N.\)
  1. [6] Доказати да је најмања \(\sigma\)-алгебра генерисана фамилијом скупова \(\{A_n : n \in \mathbb N\}\) једнака \(\mathcal P (\mathbb N).\) Израчунати \(\liminf\limits_{n \rightarrow \infty} A_n\) и \(\limsup\limits_{n \rightarrow \infty} A_n.\)
  2. [12] Продужити функцију \(\mu\) до мере на \(\mathcal P(\mathbb N)\) и показати да је такво продужење једна коначна мера на \(\mathcal P(\mathbb N).\) Израчунати \(\mu(\{2n : n \in \mathbb N\}).\)
  3. [17] Израчунати интеграл \[ \int_{\mathbb N} x \, \mathbf{d}\mu.\]

2

30 поена
Израчунати граничну вредност \[\lim_{n\rightarrow \infty} \int_0^{\frac 3 {2n}} \frac{\sqrt{nx}}{(1+\sqrt x + \sqrt[3]x) \cdot \sin x}\, \mathbf{d}x.\]

3

Нека је \(m\) Лебегова мера на \([0,1], E \subseteq [0,1]\) Лебег мерљив скуп и функција \(f: [0,1] \rightarrow \mathbb R\) дефинисана са \[f(x) = m(E \cap [0,x]).\]
  1. [15] Доказати да је функција \(f\) непрекидна на \([0,1].\)
  2. [20] Доказати једнакост \[\int_{[0,1]} f(x)\, \mathbf{d}m(x) = m(E) - \int_E x\, \mathbf{d}m(x).\]