Писмени испит из предмета Анализа 3А За смер М.
Време израде: 180 минута.
1
Израчунати
\[\lim_{y \rightarrow +\infty} \int\limits_0^\infty \frac{y \sin\left( \frac 1 x\right)}{y^2+x}\,dx\]ако постоји.
2
Нека је \(\mu\) Борелова мера на \(X\) и \(f: X \rightarrow [0, +\infty)\) мерљива функција таква да је \(\int_X f(x)\, d\mu(x) = M\) за неко \(0 < M < +\infty.\) Израчунати \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \int_X n \ln \left(1+ \left( \frac{f(x)} n\right)^\alpha\right)\, d\mu(x)\) у следећим случајевима
- \(0 < \alpha < 1\)
- \(\alpha = 1\)
- \(1 < \alpha < +\infty\)
3
Нека је \(f \in L^1(\mathbb R, m).\) За свако \(n \in \mathbb N\) нека је функција \(f_n: \mathbb R \rightarrow \mathbb C\) дефинисана са \(f_n(x) = n \int_{[\frac k n, \frac{k+1} n)}f(t)\, dm(t)\) за све \(k \in \mathbb Z\) и све \(x \in [\frac k n, \frac{k+1} n),\) то јест \[f_n = n\sum\limits_{k \in \mathbb Z}\int_{[\frac k n, {k+1} n)} f(t)\, dm(t)\chi_{[\frac k n, \frac{k+1} n)}.\] Показати да:
- \(f_n\) конвергира ка \(f\, [m]\) скоро свуда на \(\mathbb R\) кад \(n \rightarrow \infty,\)
- \(f_n\) конвергира ка \(f\) у \(L^1(\mathbb R, m)\) кад \(n \rightarrow \infty.\)
4
- \(\lim\limits_{x\rightarrow + \infty} \sqrt x f^3(x) = 0\),
- \(\left(\int_{[0, +\infty)} x^{-\frac 1 2}f^3(x)\, dm(x)\right)^3 \leq \left(6 \int_{[0, +\infty)} x^{\frac 3 4} f^3(x)\, dm(x)\right)^2\left(6 \int_{[0,+\infty)} \lvert f'(x)\rvert^3\, dm(x)\right).\)