Колоквијум из предмета Анализа 1 За смерове Л, М, Н, Р, В.

Одредити инфимум и супремум следећих скупова:

1. \[A = \left\{ \frac{m^2-n}{m^2+n^2} \mid m,n \in \mathbb N, m \gt n\right\}.\]
2. \(B \subseteq \mathbb R\) у којима тангента на функцију \(x^2e^x\) не сече негативни део \(x\) осе.
3. \[C = A \cdot B = \{xy \mid x \in A, y \in B\}\]

Одредити граничну вредност низа чији је општи члан \[a_n = n^3 \left( \sin \frac 1 n \log (1 + \frac 1 n - \frac 1 {n^2} - \frac 1 n \log(1+\frac 1 n)\right),\] а потом израчунати \[\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{1 \cdot a_1 + 2 \cdot a_2 + \cdots + n \cdot a_n}{n^2}.\]

Испитати ток и скицирати график функције \[h(x) = x \log\left(1 + \frac 2 {2x+1}\right).\]

Дата је функција \(f\colon [-1,1] \rightarrow \mathbb R\) непрекидна на \([-1,1]\) и два пута диференцијабилна на \((-1,1),\) која има превојну тачку и за коју важи да је \(f(0) = 0\) и \(f(-1) + f(1) \gt 0.\) Доказати да постоји тачка \(\xi \in (-1,1)\) таква да је \(f''(\xi) = \frac{f(-1)+f(1)}2.\)