Писмени испит из предмета Анализа 1 За смерове Л, М, Н, Р, В.

Испитати ток и скицирати график функције \[f(x) = \log \frac{\lvert 2x-1 \rvert -1}{2x-1} - 2x.\]

Дата је диференцијабилна функција \(g: [a,b] \rightarrow \mathbb R\) за коју важи да је \(\lvert g'(x) \rvert \leq q \lt 1.\) Нека је \(x_0 \in [a,b]\) произвољно и низ реалних бројева дефинисан са \(x_{n+1} = g(x_n).\)

1. Показати да је \(\lvert \frac{g(x_n)- g(x_{n-1})}{x_n - x_{n-1}}\rvert \leq q.\)
2. Доказати да низ \(x_n\) конвергира.
3. Доказати да постоји јединствено \(\xi \in [a,b]\) такво да је \(g(\xi) = \xi.\)

1. Израчунати интеграл \[\int\limits_1^{+\infty} \frac{x - x^2 \arctan \frac 1 x}{1 + x^2} dx.\]
2. Испитати конвергенцију реда \[\sum\limits_{n=2}^\infty \frac{1- n\arctan \frac 1 n}{n-1}.\]

Дата је непрекидна функција \(h: [0,1] \rightarrow [-1,1]\) за коју важи да је \(\int_0^1 h(x)dx = 0.\)

1. Доказати да је \(\lvert \int_0^x h(t) dt \rvert \leq \min\{x, 1-x\}.\)
2. Доказати да је \(\lvert \int_0^1xh(x)dx\rvert \leq \frac 1 4.\)