Писмени испит из предмета Анализа 1 За смерове Л, М, Н, Р, В.

1. Дати дефиницију конвергентног низа, подниза и тачке нагомилавања низа.
2. 1. Уколико поднизови \((a_{2k})_{k \in \mathbb N}\) и \((a_{2k-1})_{k \in \mathbb N}\) низа \((a_n)_{n \in \mathbb N}\) конвергирају ка неком броју \(a \in \mathbb R\), доказати да и \((a_n)_{n \in \mathbb N}\) конвергира ка \(a.\)
   2. Ако су поднизови \((a_{2k})_{k \in \mathbb N}, (a_{2k-1})_{k \in \mathbb N}\) и \((a_5k)_{k \in \mathbb N}\) низа \((a_n)_{n \in \mathbb N}\) конвергентни, доказати да је и низ \((a_n)_{n \in \mathbb N}\) конвергентан.

Нека је \(f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R\) непрекидно диференцијабилна функција таква да је \(\inf\{f'(x) \mid x \in \mathbb R\} = A \gt 0.\)

1. Доказати да за свако \(x,y \in \mathbb R\) важи \[\lvert f(y) - f(x) \rvert \geq A \lvert y - x \rvert.\]
2. Доказати да постоји решење једначине \(f(x) = 0.\)
3. Доказати да је решење једначине \(f(x) = 0\) јединствено.

1. Формулисати и доказати Њутн-Лајбницову формулу.
2. Израчунати интеграл \[\int\limits_e^{+\infty} \frac{dx}{x \left( \log x + \sqrt{\log^2 x + 3} \right)^2 }.\]

1. У зависности од \(p \in \mathbb R,\) наћи \[\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos(x)\cos(px)}{x^2}.\]
2. У зависности од \(\alpha \in \mathbb R,\) испитати конвергенцију реда \[\sum_{n=1}^\infty (n \log(3n))^\alpha\left( 1 - \cos \left( \frac 1 n \right) \cos \left( \frac 2 n \right)\right).\]