26.09.2020.

Писмени испит из предмета Анализа 1 за смерoве Л, М, Н, Р, В

други и трећи ток

1

Испитати ток и скицирати график функције

\[f(x) = (x+3) \ln \frac{x+1}{x+2}.\]

2

Дата је непрекидна функција \(g:[0,1] \rightarrow [0,1]\) таква да је \(g(0) = 0, g(1) = 1\) и за свако \(x \in (0,1) \, g(x) \neq x.\)

1. Доказати да је за свако \(x \in (0,1)\, g(x) \gt x\) или је за свако \(x \in (0,1) \, g(x) \lt x.\)
2. Доказати да низ формиран са \(x_0 \in (0,1), x_{n+1} = g(x_n)\) конвергира.

3

Израчунати интеграл

\[\int\limits_{1}^{+\infty} \frac{\ln x}{x^2 \sqrt{1+x^2}} dx.\]

4

Одредити област конвергенције реда

\[\sum\limits_{n=2}^\infty \frac {\sin n} {\ln n} \arctg n \, (x+2)^n.\]