Писмени испит из предмета Анализа 1 За смерове Л, М, Н, Р, В.

Испитати ток и скицирати график функције\[h(x) = \arctan(3x+1)+\frac{6x+2}{9x^2+6x+2}.\]

1. Наћи све \(\alpha \in \mathbb R\) за које је функција \[f(x) = \sqrt[3]{x^\alpha - \sin x}.\] диференцијабилна над \(\mathbb R.\)
2. За \(\alpha = 1\) испитати равномерну непрекидност функције \(f\) над \(\mathbb R.\)

1. За \(\gamma \in [0, \frac \pi 2]\) доказати да важи \[\sin \gamma \geq \frac {2 \gamma}{\pi}.\]
2. Доказати да за \(\lambda \lt 1\) важи \[\lim_{r \rightarrow \infty} r^\lambda \int\limits_{0}^{\frac \pi 2} e^{- r \sin \gamma} d\gamma = 0\]

Доказати конвергенцију и израчунати интеграл \[\int\limits_{0}^{\frac {\pi} {2}}\frac{\sqrt{\sin x} + \frac{1}{\sqrt{\sin x}}}{2 + 4 \sin x - \cos^2 x} \cos x dx. \]