Писмени испит из предмета Анализа 1 За смерове Л, М, Н, Р, В.

Посматрајмо скуп \(D = \{\frac {2m}{3^n} \mid m \in \mathbb Z, n \in \mathbb N\}.\)

1. Дефинисати пребројив скуп. Доказати да је скуп \(D\) пребројив.
2. Дефинисати горње и доње ограничење скупа, супремум и инфимум скупа. Наћи \(\inf D_+,\) где је \(D_+ = \{d \in D \mid d \gt 0\}.\)
3. Доказати да се између свака два реална броја налази бар један број из скупа \(D.\)
4. Доказати да је скуп \(F = \{x^2 \mid x \in D\}\) свуда густ подскуп од \(\mathbb R_+ = \{x \in \mathbb R \mid x \gt 0\}.\)

Нека су \(f, g\colon [a,b] \rightarrow \mathbb R\) функције које су непрекидне на \([a,b]\) и диференцијабилне на \((a,b).\) Претпоставимо да су \(f'\) и \(g'\) непрекидне, позитивне и растуће функције \((a,b).\) Доказати да постоји \(c \in (a,b)\) тако да је \[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\frac {g(b)-g(a)}{b-a} = f'(c)g'(c).\]

1. Формулисати и доказати основну теорему интегралног рачуна.
2. Израчунати интеграл \[\int\limits_{-1}^1 \frac{\sqrt{1-x^2}\arccos x}{2-x^2} dx.\]

У зависности од \(\alpha \in \mathbb R\) испитати конвергенцију реда \[\sum\limits_{n=1}^\infty \left( (n+1)^\alpha - \left(n + \frac 1 n\right)^\alpha\right).\]